Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2713
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 левая круг­лая скоб­ка 9 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2. Не поль­зу­ясь мик­ро­каль­ку­ля­то­ром, опре­де­ли­те, удо­вле­тво­ря­ет ли дан­но­му не­ра­вен­ству число 1,75.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2.

Обо­зна­чим вре­мен­но 2 в сте­пе­ни x =t, тогда не­ра­вен­ство при­мет вид

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби минус 2t пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 2 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше или равно 0.

Ис­поль­зу­ем те­перь метод ра­ци­о­на­ли­за­ции, по­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе минус t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 72 минус 2t в кубе минус t в сте­пе­ни 4 плюс 2t в кубе минус t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 72 минус t в сте­пе­ни 4 минус t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус t в квад­ра­те минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 8, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

По­сколь­ку t боль­ше 0, можно даже на­пи­сать

дробь: чис­ли­тель: t минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: t минус 2 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та ,t мень­ше 2. конец со­во­куп­но­сти .

Кроме того, нужно учесть ОДЗ, по­сколь­ку при ра­ци­о­на­ли­за­ции она ме­ня­ет­ся. Из­на­чаль­но долж­ны были вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ства

си­сте­ма вы­ра­же­ний t минус 1 боль­ше 0, t минус 1 не равно 1, дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби минус 2t боль­ше 0. конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний t боль­ше 1,t не равно 2, t мень­ше ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та . конец си­сте­мы .

Сразу от­ме­тим, что число ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та боль­ше трех. По­это­му ответ с уче­том ОДЗ будет такой  — t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка . Вспо­ми­на­ем, что t=2 в сте­пе­ни x и де­ла­ем об­рат­ную за­ме­ну  — x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ясно, что 1.75= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му оста­ет­ся срав­нить его с ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та . Сде­ла­ем это

дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \vee ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 12 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \vee 12 умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 21 \vee ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 1 2 рав­но­силь­но 21 \vee ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 36 в сте­пе­ни 4 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 21 пра­вая круг­лая скоб­ка \vee 36 в сте­пе­ни 4 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 21 пра­вая круг­лая скоб­ка \vee 4 в сте­пе­ни 4 умно­жить на 9 в сте­пе­ни 4 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 21 пра­вая круг­лая скоб­ка \vee 2 в сте­пе­ни 8 умно­жить на 3 в сте­пе­ни 8 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка \vee 3 в сте­пе­ни 8 рав­но­силь­но 8192 \vee 6561.

По­сколь­ку 8192 боль­ше 6561, то и дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та , по­это­му дан­ное число не вхо­дит в ре­ше­ния не­ра­вен­ства.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ; число 1,75 не удо­вле­тво­ря­ет дан­но­му не­ра­вен­ству.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2707

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 8 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025