№ 2709 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 28. Комплексные числа: специальные свойства
i
Спрятать решениеРешение. Ниже неверное решение. Правильный ответ на рисунке. 
Заметим для начала, что середина стороны
— это
Значит, точка пересечения медиан треугольника, делящая отрезок
в отношении
— это 
Треугольник является равнобедренным тогда и только тогда, когда у него равны две медианы (или, что то же самое, когда равны два отрезка от вершин до точки пересечения медиан zm, ведь эти отрезки отличаются от самих медиан в полтора раза). Пусть теперь
Вычислим все эти расстояния








Далее возможны три случая.
Первый случай:
Тогда
уравнение окружности с центром в точке

и радиусом

Второй случай:
Тогда

уравнение окружности с центром в точке

и радиусом
Третий случай:
Тогда




уравнение прямой.
Кроме того, надо выколоть точки, лежащие на одной прямой с точками i и
поскольку для таких точек не получается треугольника — все его вершины будут лежать на одной прямой. Это точки i, 2 и
(см. рисунок).
Ответ: см. рисунок
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: см. рисунок
Задание парного варианта: 2715