Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2709
i

От­меть­те на ком­плекс­ной плос­ко­сти все точки z, если из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках, со­от­вет­ству­ю­щих чис­лам z_1=2, z_2=z и z_3=2i минус z, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ниже не­вер­ное ре­ше­ние. Пра­виль­ный ответ на ри­сун­ке.

За­ме­тим для на­ча­ла, что се­ре­ди­на сто­ро­ны z_2z_3  — это  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка z плюс 2i минус z пра­вая круг­лая скоб­ка =i. Зна­чит, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка, де­ля­щая от­ре­зок z_1 i в от­но­ше­нии 2:1  — это  дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тогда и толь­ко тогда, когда у него равны две ме­ди­а­ны (или, что то же самое, когда равны два от­рез­ка от вер­шин до точки пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан zm, ведь эти от­рез­ки от­ли­ча­ют­ся от самих ме­ди­ан в пол­то­ра раза). Пусть те­перь z=x плюс iy. Вы­чис­лим все эти рас­сто­я­ния

z_mz_1=\abs дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2=\abs дробь: чис­ли­тель: 2i минус 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

z_mz_2=\abs дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x минус iy= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \abs2 плюс 2i минус 3x минус 3iy= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та ,

z_mz_3=\abs дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 2i минус x минус iy пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \abs2 минус 4i плюс 3x плюс 3iy= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Далее воз­мож­ны три слу­чая.

Пер­вый слу­чай: z_mz_1=z_mz_2. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =20 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке  дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и ра­ди­у­сом  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Вто­рой слу­чай: z_mz_1=z_mz_3. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =20 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ,

урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке  дробь: чис­ли­тель: 2 минус 4i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и ра­ди­у­сом  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Тре­тий слу­чай: z_mz_2=z_mz_3. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3y минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 4 минус 12x плюс 9x в квад­ра­те плюс 4 минус 12y плюс 9y в квад­ра­те =4 плюс 12x плюс 9x в квад­ра­те плюс 9y в квад­ра­те минус 24y плюс 16 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 24x минус 12y плюс 12=0 рав­но­силь­но y=2x плюс 1,

урав­не­ние пря­мой.

Кроме того, надо вы­ко­лоть точки, ле­жа­щие на одной пря­мой с точ­ка­ми i и  дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 2i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­сколь­ку для таких точек не по­лу­ча­ет­ся тре­уголь­ни­ка  — все его вер­ши­ны будут ле­жать на одной пря­мой. Это точки i, 2 и  дробь: чис­ли­тель: минус 2 плюс 4i, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби (см. ри­су­нок).

 

Ответ: см. ри­су­нок

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2715

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 10 из 10