PDF-версии: 
Отметьте на комплексной плоскости все точки z, если известно, что треугольник с вершинами в точках, соответствующих числам 
и 
является равнобедренным.
Решение. Ниже неверное решение. Правильный ответ на рисунке.
Заметим для начала, что середина стороны 
— это 
Значит, точка пересечения медиан треугольника, делящая отрезок 
в отношении 
— это 
Треугольник является равнобедренным тогда и только тогда, когда у него равны две медианы (или, что то же самое, когда равны два отрезка от вершин до точки пересечения медиан zm, ведь эти отрезки отличаются от самих медиан в полтора раза). Пусть теперь 
Вычислим все эти расстояния
Далее возможны три случая.
Первый случай: 
Тогда
и радиусом 
Второй случай: 
Тогда
и радиусом Третий случай: 
Тогда
Кроме того, надо выколоть точки, лежащие на одной прямой с точками i и 
поскольку для таких точек не получается треугольника — все его вершины будут лежать на одной прямой. Это точки i, 2 и 
(см. рисунок).
Ответ: см. рисунок
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |