Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2700
i

Пря­мая y=5 минус x яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной функ­ции y=x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2x плюс a. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­пу­стим, что ка­са­ние про­ис­хо­дит в точке с абс­цис­сой t. Тогда в этой точке долж­ны быть равны зна­че­ния функ­ций и зна­че­ния их про­из­вод­ных (про­из­вод­ная долж­на су­ще­ство­вать). По­лу­ча­ем 5 минус t=t минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те минус 2t плюс a конец ар­гу­мен­та .

Вы­чис­лим те­перь про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс a конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка '=1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс a конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка '=
=1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс a конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс a конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит, 1 минус дробь: чис­ли­тель: t минус 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те минус 2t плюс a конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус 1.

Из этого урав­не­ния по­лу­ча­ем, что

 дробь: чис­ли­тель: t минус 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те минус 2t плюс a конец ар­гу­мен­та конец дроби =2 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те минус 2t плюс a конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: t минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда пер­вое урав­не­ние дает 5 минус t=t минус дробь: чис­ли­тель: t минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да

10 минус 2t=2t минус левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 9=3t рав­но­силь­но t=3.

Тогда 5 минус t=2. Кроме того,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t в квад­ра­те минус 2t плюс a конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: t минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то есть  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус 6 плюс a конец ар­гу­мен­та =1, a= минус 2.

Ясно что при a= минус 2 функ­ция опре­де­ле­на и имеет про­из­вод­ную во всех точ­ках в окрест­но­сти t=3, так как t в квад­ра­те минус 2t минус 2 боль­ше 0 при t\approx 3, по­это­му такое a нам дей­стви­тель­но под­хо­дит. Ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния: x  =  3; y(3)  =  3 − 1  =  2.

 

Ответ: (3; 2).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2694

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 7 из 10