Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2700

Прямая y=5 минус x является касательной функции y=x минус корень из x в квадрате минус 2x плюс a. Найдите координаты точки касания.

Спрятать решение

Решение.

Допустим, что касание происходит в точке с абсциссой t. Тогда в этой точке должны быть равны значения функций и значения их производных (производная должна существовать). Получаем 5 минус t=t минус корень из t в квадрате минус 2t плюс a.

Вычислим теперь производную

 левая круглая скобка x минус корень из x в квадрате минус 2x плюс a правая круглая скобка '=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x в квадрате минус 2x плюс a конец дроби умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс a правая круглая скобка '=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из x в квадрате минус 2x плюс a конец дроби умножить на левая круглая скобка 2x минус 2 правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: корень из x в квадрате минус 2x плюс a конец дроби .

Значит, 1 минус дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: корень из t в квадрате минус 2t плюс a конец дроби = минус 1.

Из этого уравнения получаем, что

 дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: корень из t в квадрате минус 2t плюс a конец дроби =2 равносильно корень из t в квадрате минус 2t плюс a= дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Тогда первое уравнение дает 5 минус t=t минус дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда

10 минус 2t=2t минус левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка равносильно 9=3t равносильно t=3.

Тогда 5 минус t=2. Кроме того,  корень из t в квадрате минус 2t плюс a= дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , то есть  корень из 9 минус 6 плюс a=1, a= минус 2.

Ясно что при a= минус 2 функция определена и имеет производную во всех точках в окрестности t=3, так как t в квадрате минус 2t минус 2 больше 0 при t\approx 3, поэтому такое a нам действительно подходит. Координаты точки касания: x = 3; y(3) = 3 − 1 = 2.

 

Ответ: (3; 2).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2694

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 7 из 10