Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2694

Найдите значения параметра a, если известно, что прямая y=2x плюс 1 является касательной функции y= корень из 4x в квадрате плюс a плюс 3x.

Спрятать решение

Решение.

Допустим, что касание происходит в точке с абсциссой t. Тогда в этой точке должны быть равны значения функций и значения их производных (производная должна существовать). Получаем:  корень из 4t в квадрате плюс a плюс 3t=2t плюс 1.

Вычислим теперь производную:

 левая круглая скобка корень из 4x в квадрате плюс a плюс 3x правая круглая скобка '= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 4x в квадрате плюс a конец дроби умножить на левая круглая скобка 4x в квадрате плюс a правая круглая скобка ' плюс 3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 4x в квадрате плюс a конец дроби умножить на 8x плюс 3= дробь: числитель: 4x, знаменатель: корень из 4x в квадрате плюс a конец дроби плюс 3.

Значит,  дробь: числитель: 4t, знаменатель: корень из 4t в квадрате плюс a конец дроби плюс 3=2.

Из этого уравнения получаем, что

 дробь: числитель: 4t, знаменатель: корень из 4t в квадрате плюс a конец дроби = минус 1 равносильно корень из 4t в квадрате плюс a= минус 4t.

Подставим в первое уравнение, получим  минус 4t плюс 3t=2t плюс 1, откуда t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда уравнение  корень из 4t в квадрате плюс a= минус 4t сводится к  корень из дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби плюс a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , то есть  дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби плюс a= дробь: числитель: 16, знаменатель: 9 конец дроби , откуда a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Ясно, что при a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби функция определена и имеет производную во всех точках, поэтому такое a нам действительно подходит.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2700

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 7 из 10