РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2683

Изобразите на комплексной плоскости все числа c, для каждого из которых среди решений уравнения $z в квадрате плюс \barz=c$ найдется решение $z_1$ с аргументом $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Аргумент числа $1 плюс i$ равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ поэтому аргумент числа $z_1=a левая круглая скобка 1 плюс i правая круглая скобка$ равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ для любого a>0. (Перебирая все положительные числа a, мы получим все комплексные числа $z_1$ с аргументом $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ ). Если такое число $z_1$ является решением исходного уравнения с некоторым $c=x плюс iy,$ то, поскольку

$z_1 в квадрате =2a в квадрате i,$ $\bar z_1=a левая круглая скобка 1 минус i правая круглая скобка ,$

получаем

$c=2a в квадрате i плюс a левая круглая скобка 1 минус i правая круглая скобка ,$ $x плюс iy=a плюс i левая круглая скобка 2a в квадрате минус a правая круглая скобка .$

Отсюда следует, что

$система выражений x=a,y=2a в квадрате минус a, a больше 0. конец системы .$

Таким образом, действительная и мнимая части x и y комплексного числа c связаны соотношением

$y=2x в квадрате минус x,$ $x больше 0$

(поскольку $x=a$ ). В итоге мы получаем, что искомое множество чисел с на комплексной плоскости  — это та часть параболы (графика квадратичной функции $y=2x в квадрате минус x$ ), которая лежит строго в правой полуплоскости (точка $c=0$ множеству не принадлежит). Построение графика функции не вызывает затруднений (см. рис.).

Ответ: см. рис.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2690

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 4, вариант 1

? Классификатор: Изображение множеств комплексных чисел на плоскости

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь