РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

Существует ли касательная к графику функции $y=x минус x в квадрате плюс 3|x|,$ имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.

Решение. Преобразуем данную функцию к виду

$y= система выражений минус x в квадрате минус 2x,x меньше 0, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка 4x минус x в квадрате , x больше или равно 0. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы .$

Отсюда видно, что график функции состоит из ветвей двух парабол (см. рисунок).

При x=0 левосторонняя производная функции равна $y' левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 2,$ а правосторонняя производная имеет другое значение: $y' левая круглая скобка плюс 0 правая круглая скобка =4$ поэтому производная при x=0 не существует. Следовательно, точка $O левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка$ графика функции (начало координат) не может быть точкой касания искомой прямой и графика.

Найдем прямую $kx плюс b,$ которая является общей касательной парабол (1) и (2). Касательная имеет с параболой единственную общую точку  — точку касания (см.  замечание к решению задания 5 варианта 1), поэтому каждое из следующих двух уравнений имеет единственное решение:

$минус x в квадрате минус 2x=kx плюс b,$ $4x минус x в квадрате =kx плюс b.$

(Заметим, что это  — не система, поскольку уравнения могут иметь различные решения!) Преобразуем эти уравнения

$x в квадрате плюс левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка x плюс b=0, \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

$x в квадрате плюс левая круглая скобка k минус 4 правая круглая скобка x плюс b=0. \qquad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

Единственность решения каждого уравнения имеет место тогда и только тогда, когда дискриминанты этих уравнений равны нулю, то есть справедлива система уравнений

$система выражений левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус 4b=0, левая круглая скобка k минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 4b=0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка k минус 4 правая круглая скобка в квадрате ,b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно система выражений k=1,b=2,25. конец системы .$

Таким образом, уравнение общей касательной к параболам (1) и (2) есть $y=x плюс 2,25.$ При этом уравнения (3) и (4) имеют соответствующие (единственные) решения $x_1= минус 1,5 меньше 0,x_2=1,5 больше 0.$ Следовательно, найденная прямая является решением задачи. На этом решение можно закончить. Ответ положительный.

Ответ: $y=x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .$

Замечание.

При составлении уравнений (3) и (4) нами использовалась производная. Вообще, эту задачу, можно решить без производной,  — даже при составлении уравнения касательной (в частности,  — односторонней касательной).

Не используя производную, касательную к параболе (а также к гиперболе и некоторым другим кривым) можно определить как прямую  — график функции $y=kx плюс d,$ имеющую с параболой $y=ax в квадрате плюс bx плюс c левая круглая скобка a не равно 0 правая круглая скобка$ единственную общую точку, называемую точкой касания.

Используем это определение для составления уравнения касательной к параболе  — графику квадратного трехчлена $y=ax в квадрате плюс bx плюс c левая круглая скобка a не равно 0 правая круглая скобка ,$ проходящей через точку касания с абсциссой $x=x_0.$ Запишем уравнение прямой в виде $y=k левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс d.$ Подставляя значение $x=x_0,$ получаем $d=ax_0 в квадрате плюс bx_0 плюс c.$ По данному выше определению касательной уравнение

$ax в квадрате плюс bx плюс c=k левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс ax_0 в квадрате плюс bx_0 плюс c$

имеет единственное решение $x=x_0.$ Преобразуем уравнение

$ax в квадрате плюс левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка x минус ax_0 в квадрате минус левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка x_0=0;$

его дискриминант

$D= левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4a левая круглая скобка ax_0 в квадрате плюс левая круглая скобка b минус x правая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка ax_0 плюс 4a в квадрате x_0 в квадрате = левая круглая скобка b минус k плюс 2x_0 правая круглая скобка в квадрате .$ $D= левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4a левая круглая скобка ax_0 в квадрате плюс левая круглая скобка b минус x правая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка b минус k правая круглая скобка ax_0 плюс 4a в квадрате x_0 в квадрате = левая круглая скобка b минус k плюс 2x_0 правая круглая скобка в квадрате .$

В силу критерия единственности решения $D=0,$ откуда следует, что $k=2x_0 плюс b.$ То есть уравнение касательной есть

$y= левая круглая скобка 2x_0 плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс ax_0 в квадрате плюс bx_0 плюс c$

(что совпадает с уравнением, получаемым с помощью производной).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2681	$y=x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ключ