Существует ли касательная к графику функции 
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.
Имеем:
Рассмотрим уравнение касательной к графику в точке графика с отрицательной абсциссой t, 
Очевидно, эта касательная имеет единственную общую точку с левой ветвью (при 
) графика исходной функции — точку касания M. Для каждого 
найдем общие точки касательной с правой ветвью графика 
при 
Так как корни этого уравнения, если они существуют, имеют одинаковые знаки (поскольку, в силу теоремы Виета, их произведение равно 
), то для существования единственного положительного корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, то есть
При этом значении t 
Прямая найдена: 
Ответ: 
Замечание.
Нахождение других прямых (на самом деле их нет) выходит за рамки требований этой задачи. Ученик, на самом деле, мог бы просто без выкладок взять наобум прямую 
доказать, что она обладает требуемыми свойствами, и этим ограничиться.Тем не менее, мы приведем избыточный способ решения, в котором доказывается, что найденная прямая — единственная (думаем, что такое упражнение очень полезно рассмотреть в математическом классе).
Приведем другое решение.
График данной функции изображен на рисунке и состоит из двух частей, являющихся ветвями парабол 
и 
Будем называть эти ветви левой и правой.
Пусть уравнение искомой касательной 
где числа k и b пока не определены. Точка 
графика функции не может являться точкой касания, так как в ней нет производной.
Рассмотрим сначала случай, когда обе общие точки являются точками касания. Их абсциссы должны быть отличны от нуля, следовательно, для каждой такой точки однозначно определяется ветвь параболы, на которой эта точка находится. Обе точки не могут лежать на ветви одной и той же параболы, поскольку парабола, как и любая ее дуга имеет со своей касательной не более, чем одну общую точку — точку касания (см. ниже замечание). Отсюда следует, что на каждой из ветвей парабол находится по одной общей точке касательной и графика данной функции. Отсюда следует, что абсциссы 
этих двух точек касания имеют разные знаки: 
Поскольку угловой коэффициент k касательной равен значению производной функции в точке касания, мы получаем систему уравнений
Из первого и второго уравнений следует
Вычтем из обеих частей третьего уравнения соответствующие части четвертого
а также 
Из 
следует, что 
Далее 
Таким образом, уравнение прямой, касающейся ветви каждой параболы, и эта прямая удовлетворяет условиям задачи.
Из геометрических соображений очевидно (см. рис. из первого способа решения), что полученная прямая 
является единственным решением задачи. Действительно, «сместим» полученную касательную так, чтобы касания ее с левой ветвью графика сместилась влево (или вправо). При этом новая касательная будет иметь с графиком функции только одну общую точку (соответственно три общие точки, при этом только одна из них — первоначальная является точкой касания). Аналогичная картина будет наблюдаться при смещении правой точки касания.
Эти рассуждения наглядны, но, возможно, кому-то покажутся нестрогим. Обоснуем сказанное аналитически.
Рассмотрим прямую линию, которая касается левой ветви графика исходной функции в точке с абсциссой 
Производная функции при 
равна 
а уравнение касательной
Абсциссы точек пересечения касательной с правой ветвью графика исходной функции определяются из уравнения
При 
уравнение (1) не имеет решений, поэтому касательная имеет только одну общую точку с графиком функции.При 
уравнение (2) имеет два решения 
При этом по теореме Виета 
(то есть корни — одного знака), 
откуда следует, что 
То есть касательная и график функции имеют три общие точки, и такая касательная решением задачи.
Рассмотрим, наконец, касательную, которая касается правой ветви графика в точке с абсциссой 
Ее уравнение
Составим аналогичное уравнение для абсцисс точек пересечения касательной с левой ветвью графика функции, получаем
При 
и это уравнение не имеет решений. При 
По теореме Виета 
тогда имеем 
значит, 
и 
(три общие точки касательной и графика функции).
Таким образом, мы рассмотрели все возможное случаи.
Ответ:
Задание парного варианта: 2681