Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2649
i

Най­ди­те наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра b, при ко­то­ром для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го зна­че­ния па­ра­мет­ра a пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=0, x=a, x=a плюс 1 и y= минус x в квад­ра­те , не боль­ше пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y=0, x=a, x=a плюс 1 и y=2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс b.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций y= минус x в квад­ра­те и y=2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс b. Пло­ща­ди двух ука­зан­ных фигур ABCD и ABFG за­штри­хо­ва­ны (на ри­сун­ке для при­ме­ра взяты зна­че­ния b=3, a=2).

По­сколь­ку при любом по­ло­жи­тель­ном b минус x в квад­ра­те мень­ше или равно 0 мень­ше или равно 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс b, то гра­фик каж­дой функ­ции на­хо­дит­ся в со­от­вет­ству­ю­щей (ниж­ней или верх­ней) по­лу­плос­ко­сти, т. е. обе фи­гу­ры ABCD и ABFG при любых a при­над­ле­жит R , b боль­ше 0 яв­ля­ют­ся кри­во­ли­ней­ны­ми тра­пе­ци­я­ми. По­это­му их пло­ща­ди со­от­вет­ствен­но равны

S_ABCD= ин­те­грал пре­де­лы: от a до a плюс 1, x в квад­ра­те dx = дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | пре­де­лы: от a до a плюс 1, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус a в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те плюс a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;

 

S_ABFG = ин­те­грал пре­де­лы: от a до a плюс 1, левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка dx = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе | пре­де­лы: от a до a плюс 1, плюс bx | пре­де­лы: от a до a плюс 1, =
= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a в кубе минус левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b=2a в квад­ра­те минус 2a плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс b.

По усло­вию S_ABCD мень­ше или равно S_ABFG, т. е.

a в квад­ра­те плюс a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 2a в квад­ра­те минус 2a плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс b рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 3a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс b боль­ше или равно 0 для лю­бо­го a при­над­ле­жит R .

Это не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го a тогда и толь­ко тогда, когда дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го трёхчле­на не­по­ло­жи­те­лен:

D мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 9 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 4b мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 4b боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но b боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее b, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи, равно дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: b_\min = дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2655

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1995 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ин­те­гри­ро­ва­ни­ем
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025