Напишите уравнение касательной к графику функции 
отсекающей на положительных направлениях осей координат равные отрезки.
Ⅰ способ. Из условий задачи следует, что угловой коэффициент наклона касательной равен -1 (см. рис.). Производная функции
Следовательно, для абсциссы точки 
точки касания должно выполняться условие 
откуда 
Далее вычисляем 
и уравнение касательной принимает вид 
Ⅱ способ. График функции изображен на рисунке. Пусть точка касания, через которую проходит искомая касательная — 
(при 
касательная имеет уравнение 
и не пересекает ось y). Производная функции Составим уравнение касательной:
По условию задачи касательная проходит через точки 
и 
где 
Так как координаты точек N и K удовлетворяют уравнению касательной, мы получаем:
Решим полученную систему уравнений, сложив их: 
откуда получим совокупность
Заметим, что все переходы равносильны, т. к. по условию 
и
Подставив полученное значение в уравнения системы, выведем уравнение для a: 
Таким образом, система имеет единственное решение 
что очевидно по геометрическим соображениям. При этом выполнено условие Далее вычисляем 
Составление уравнения касательной теперь не требует особых трудностей.
Замечание 1. Для школьника такое обоснование решения вполне достаточно. Следует отметить, однако, что с точки зрения математической строгости необходимо также доказать, что найденная прямая действительно удовлетворяет условиям задачи. (Мы же лишь доказали так называемую «необходимость»: среди всех прямых только 
может удовлетворять условиям задачи.)
Замечание 2. Решение таких задач очень полезно проверять графически, проводя соответствующую касательную и используя полученное значение параметра a.
Ответ: 
Задание парного варианта: 2651