PDF-версии: 
Напишите уравнение касательной к графику функции 
отсекающей на положительных направлениях осей координат равные отрезки.
Решение. Ⅰ способ. Из условий задачи следует, что угловой коэффициент наклона касательной равен -1 (см. рис.). Производная функции
Следовательно, для абсциссы точки 
точки касания должно выполняться условие 
откуда 
Далее вычисляем 
и уравнение касательной принимает вид 
Ⅱ способ. График функции изображен на рисунке. Пусть точка касания, через которую проходит искомая касательная — 
(при 
касательная имеет уравнение 
и не пересекает ось y). Производная функции Составим уравнение касательной:
По условию задачи касательная проходит через точки 
и 
где 
Так как координаты точек N и K удовлетворяют уравнению касательной, мы получаем:
Решим полученную систему уравнений, сложив их: 
откуда получим совокупность
Заметим, что все переходы равносильны, т. к. по условию 
и
Подставив полученное значение в уравнения системы, выведем уравнение для a: 
Таким образом, система имеет единственное решение 
что очевидно по геометрическим соображениям. При этом выполнено условие Далее вычисляем 
Составление уравнения касательной теперь не требует особых трудностей.
Замечание 1. Для школьника такое обоснование решения вполне достаточно. Следует отметить, однако, что с точки зрения математической строгости необходимо также доказать, что найденная прямая действительно удовлетворяет условиям задачи. (Мы же лишь доказали так называемую «необходимость»: среди всех прямых только 
может удовлетворять условиям задачи.)
Замечание 2. Решение таких задач очень полезно проверять графически, проводя соответствующую касательную и используя полученное значение параметра a.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |