РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2642

На графике функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x левая круглая скобка 2|x| плюс x правая круглая скобка$ найдите все точки с отрицательными абсциссами, такие, что площадь фигуры, ограниченная касательной к графику, проведенной через каждую из таких точек, и самим графиком, равнялась 36.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = система выражений минус x в квадрате ,x меньше 03x в квадрате ,x больше или равно 0. конец системы .$

Уравнение касательной к графику функции y=-x^2 в точке с абсциссой $x_0=t$ $левая круглая скобка t меньше 0 правая круглая скобка$ имеет вид $y= минус 2t левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка минус t в квадрате ,$ то есть $y= минус 2tx плюс t в квадрате .$ Эта касательная пересекает график функции $y=3x в квадрате$ в точке N (см. рисунок), абсцисса x которой положительна и удовлетворяет уравнению

$минус tx плюс t в квадрате =3x в квадрате равносильно 3x в квадрате плюс 2tx минус t в квадрате =0 равносильно система выражений x_1= минус t,x_2= дробь: числитель: t, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы .$

причем $x_1 больше 0$ и $x_2 меньше 0.$ Таким образом, N $левая круглая скобка минус t;3t в квадрате правая круглая скобка .$

Искомая площадь может найдена так:

$S = интеграл пределы: от t до 0, левая круглая скобка минус 2tx плюс t в квадрате плюс x в квадрате правая круглая скобка dx плюс интеграл пределы: от 0 до минус t, левая круглая скобка минус 2tx плюс t в квадрате минус 3x в квадрате правая круглая скобка dx = интеграл пределы: от t до 0, левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в квадрате dx плюс интеграл пределы: от 0 до минус t, левая круглая скобка минус 3x в квадрате минус 2tx плюс t в квадрате правая круглая скобка dx =$ $S = интеграл пределы: от t до 0, левая круглая скобка минус 2tx плюс t в квадрате плюс x в квадрате правая круглая скобка dx плюс интеграл пределы: от 0 до минус t, левая круглая скобка минус 2tx плюс t в квадрате минус 3x в квадрате правая круглая скобка dx =$
$= интеграл пределы: от t до 0, левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в квадрате dx плюс интеграл пределы: от 0 до минус t, левая круглая скобка минус 3x в квадрате минус 2tx плюс t в квадрате правая круглая скобка dx =$

$= левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка | пределы: от t до 0, плюс левая круглая скобка минус x в кубе минус tx в квадрате плюс t в квадрате x правая круглая скобка | пределы: от 0 до минус t, = левая круглая скобка минус дробь: числитель: t в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 0 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка t в кубе минус t в кубе минус t в кубе минус 0 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе .$ $= левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка | пределы: от t до 0, плюс левая круглая скобка минус x в кубе минус tx в квадрате плюс t в квадрате x правая круглая скобка | пределы: от 0 до минус t, =$
$= левая круглая скобка минус дробь: числитель: t в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 0 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка t в кубе минус t в кубе минус t в кубе минус 0 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе .$

Так как по условию задачи площадь равна 36, получаем

$минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе =36 равносильно t в кубе = минус 27 равносильно t= минус 3.$

Заметим, что $t= минус 3$ удовлетворяет условию $t меньше 0.$ Следовательно, искомая точка единственна: $M левая круглая скобка минус 3; минус 9 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус 3; минус 9 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2636

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 4, вариант 2

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь