PDF-версии: 
На графике функции 
найдите все точки с положительными абсциссами, такие, что площадь фигуры, ограниченная касательной к графику, проведенной через каждую из таких точек, и самим графиком, равнялась 
Решение. Имеем:
Напишем уравнение касательной в точке графика с абсциссой 
С линией 
данная прямая имеет одну общую точку — точку касания 
Действительно, уравнение
Для нахождения общих точек с графиком функции 
решим уравнение
Пусть 
тогда 
Имеем:
Тогда 
и точка пересечения — точка 
Искомая площадь может быть найдена как разность площади прямоугольной трапеции 
и суммы двух криволинейных трапеций 
и 
(см. рисунок)
Согласно условию задачи 
то есть
Точка, через которую проведена соответствующая касательная — точка 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Рассмотрим графики функций 
при 
и 
при 
то есть графики соответствующих обратных функций.
Напишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Точка касания — точка 
Найдем координаты точки N пересечения прямой 
и параболы 
Так как 
имеем:
Так как площадь фигуры по условию равна 
получаем
Таким образом, 
а в старых координатах
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |