Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2631
i

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций y= ко­си­нус x, y= синус 2x минус 2 и ли­ни­я­ми x=b и x=b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как  ко­си­нус x боль­ше или равно 1, а  синус 2x минус 2 мень­ше или равно минус 1, то  синус 2x минус 2 мень­ше или равно ко­си­нус x, на любом от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка b;b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Имеем:

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от b до b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , 3, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус синус 2x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx конец дроби =

 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус 2x плюс синус x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от b до b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , 3}= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2b плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус 2b плюс синус левая круг­лая скоб­ка b плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус b =
= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 2b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус левая круг­лая скоб­ка 2b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка b плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Рас­смот­рим функ­цию

\varphi левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2t плюс ко­си­нус t.

Она пе­ри­о­ди­че­ская и ее пе­ри­од 2 Пи . По­это­му до­ста­точ­но рас­смот­реть ее по­ве­де­ние на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

\varphi ' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2t минус синус t,

\varphi ' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =0:  минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2t минус синус t=0 рав­но­силь­но минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус в квад­ра­те t минус синус t =0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус t= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус t = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец си­сте­мы .

Изу­чим из­ме­не­ние зна­ков про­из­вод­ной на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Ве­ли­чи­не  синус t= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби от­ве­ча­ют две точки t_1= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и t_2= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а ве­ли­чи­не  синус t = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби   — две точки

t_3= Пи плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

t_4=2 Пи минус арк­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 3,

в ко­то­рых про­из­вод­ная \varphi ' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка об­ра­ща­ет­ся в нуль. В осталь­ных точ­ках от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка : \varphi ' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0, при этом

\varphi ' левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 0,

\varphi ' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус Пи минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 боль­ше 0,

\varphi левая круг­лая скоб­ка Пи пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 2 Пи минус синус Пи = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше 0,

\varphi левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 3 Пи минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 боль­ше 0.

От­сю­да и из ри­сун­ка видно, что точки ми­ни­му­ма функ­ции \varphi левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка : t_1 и t_3.

Срав­ним зна­че­ния функ­ции в точ­ках ми­ни­му­ма:

\varphi левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =\varphi левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

 синус t_3= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  ко­си­нус t_3= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

 синус 2 t_3=2 синус t_3 умно­жить на ко­си­нус t_3=2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Те­перь можем вы­чис­лить

\varphi левая круг­лая скоб­ка t_3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

По­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби  левая круг­лая скоб­ка 3 мень­ше 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , то  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и \varphi левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше \varphi левая круг­лая скоб­ка t_3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Таким об­ра­зом, мы по­ка­за­ли, что ми­ни­мум функ­ции \varphi левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка равен:

\varphi левая круг­лая скоб­ка t_3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2625

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Па­ра­метр в за­да­чах с ин­те­гри­ро­ва­ни­ем
?
Сложность: 10 из 10