Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2625

Найдите наибольшее значение площади фигуры, ограниченной графиками функций y=2 плюс косинус x, y= синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби и линиями x=a и x=a плюс Пи .

Спрятать решение

Решение.

Так как на любом отрезке [a;a плюс Пи ], имеем 2 плюс косинус x больше или равно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби (действительно, 2 плюс косинус x меньше или равно 1, а синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1 ), то

 S = принадлежит t \limits_a в степени (a плюс Пи ) левая круглая скобка 2 плюс косинус x минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка dx = \left. \vphantom дробь: числитель: 0, знаменатель: 0 конец дроби левая круглая скобка 2x плюс синус x плюс 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка | \limits_a в степени ( Пи плюс a) = 2 Пи минус 2 синус a минус 2 синус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

S(a)=2 Пи минус 2 синус a минус 2 синус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ,

при a принадлежит R . Преобразуем выражение для функции

S(a)=2 Пи минус 2 синус a минус 2 корень из (2) синус левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =

= 2 Пи плюс 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс a правая круглая скобка минус 2 корень из (2) синус левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =2 Пи плюс 2 минус 4 синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус 2 корень из (2) синус левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .

Обозначив  синус левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =t и заметив, что t принадлежит [ минус 1;1], получим, что значения функции S(a) есть соответствующие значения функции

S_1(t)=2 Пи плюс 2 минус 4t в квадрате минус 2 корень из (2) t.

Таким образом, задача свелась к нахождению наибольшего значения квадратного трехчлена

S_1(t)= минус 4t в квадрате минус 2 корень из (2) t плюс 2 Пи плюс 2

на отрезке [ минус 1; 1].

Так как абсцисса вершины соответствующей параболы t_0= дробь: числитель: 2 корень из (2) , знаменатель: минус 8 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (2) конец дроби лежит на отрезке [ минус 1;1], то и наибольшее значение на отрезке [ минус 1;1] есть

S_1(t_0)=S_1 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из (2) конец дроби правая круглая скобка =2 Пи плюс 2,5.

 

Ответ: 2 Пи плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2631

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Параметр в задачах с интегрированием
?
Сложность: 10 из 10