Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2627
i

Най­ди­те все корни мно­го­чле­на x в кубе минус 3x в квад­ра­те плюс ax минус 2a плюс 6, если остат­ки от его де­ле­ния на дву­чле­ны x минус 1 и x плюс 2 равны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим оста­ток через r, а дан­ный мно­го­член через P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Из усло­вий за­да­чи сле­ду­ет, что мно­го­член Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус r де­лит­ся на­це­ло на x минус 1 и x плюс 2, то есть его корни 1 и  минус 2.

Ис­поль­зу­ем схему Гор­не­ра для мно­го­чле­на Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка (см. таб­ли­цу)

 

1 минус 3a минус 2a минус r плюс 6Ко­эф­фи­ци­ен­ты Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка
11 минус 2a минус 2 минус a минус r плюс 4Ко­эф­фи­ци­ен­ты  дробь: чис­ли­тель: Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби
 минус 21 минус 5a плюс 10 минус 4a минус r минус 14Ко­эф­фи­ци­ен­ты  дробь: чис­ли­тель: Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x плюс 2 конец дроби

 

По­сколь­ку остат­ки от де­ле­ния равны нулю, по­лу­ча­ем си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний минус a минус r плюс 4=0, минус 4a минус r минус 14=0. конец си­сте­мы .

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­чим: 3a плюс 18=0, от­ку­да a= минус 6.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ный мно­го­член

P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 6x плюс 18=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка .

От­сю­да видно, что корни мно­го­чле­на 3 и  \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 3,  минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2621

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи о мно­го­чле­нах
?
Сложность: 6 из 10