Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2621

Найдите все корни многочлена x в кубе плюс 2ax в квадрате минус 5x минус a минус 9, если остатки от его деления на двучлены x минус 2 и x плюс 1 равны.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим данный многочлен через P(x). Из условий задачи следует, что

 система выражений P(x)=(x минус 2)q_1(x) плюс r,P(x)=(x плюс 1)q_2 плюс r, конец системы .

где q_1(x), q_2(x) — некоторые трехчлены, а r — некоторое число (один и тот же остаток). Отсюда следует, что P(2)=r, и P( минус 1)=r:

 система выражений 8 плюс 8a минус 10 минус a минус 9=r, минус 1 плюс 2a плюс 5 минус a минус 9=r. конец системы .

Вычтем из первого уравнения второе:

9 плюс 6a минус 15=0 равносильно a=1.

Таким образом, наш многочлен

P(x)=x в кубе плюс 2x в квадрате минус 5x минус 10=x в квадрате (x плюс 2) минус 5(x плюс 2)=(x плюс 2)(x в квадрате минус 5).

Отсюда видно, что его корни  корень из ( минус 2) \pm корень из (5) .

 

Ответ: −2,  минус корень из (5) ,  корень из (5) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2627

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 6 из 10