РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2599

Решите систему уравнений $система выражений \log _2 левая круглая скобка 11 минус 2y в квадрате правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 2x в квадрате минус 5yx плюс 11 правая круглая скобка , 3\log _xy плюс \log _2yx=5. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим первое уравнение исходной системы (1), а второе (2). Уравнение (1) равносильно смешанной системе

$система выражений 11 минус 2y в квадрате = 2x в квадрате минус 5xy плюс 11,11 минус 2y в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений 2x в квадрате минус 5xy плюс 2y в квадрате = 0, \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 11 минус 2y в квадрате больше 0. \qquad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец системы .$

Уравнение (3) решим как квадратное относительно x:

$x_1, 2 = дробь: числитель: 5y \pm корень из: начало аргумента: 25y в квадрате минус 16y в квадрате конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 5y \pm 3y, знаменатель: 4 конец дроби .$

Система (3), (4) распадается на совокупность двух систем:

$система выражений x=2y, \qquad левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 11 минус 2y в квадрате больше 0, \qquad левая круглая скобка 6 правая круглая скобка конец системы .$

$система выражений x = дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби , \qquad левая круглая скобка 7 правая круглая скобка 11 минус 2y в квадрате больше 0. \qquad левая круглая скобка 8 правая круглая скобка конец системы .$

Подставим сначала условие (5) во второе уравнение исходной системы:

$3 логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка y плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка 2y = 5 равносильно 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка y = 4 равносильно дробь: числитель: 3 логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y плюс 1 конец дроби = 4 равносильно 3 логарифм по основанию 2 y = 4 логарифм по основанию 2 y плюс 4 равносильно$ $3 логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка y плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка 2y = 5 равносильно 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка y = 4 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y плюс 1 конец дроби = 4 равносильно 3 логарифм по основанию 2 y = 4 логарифм по основанию 2 y плюс 4 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 y = минус 4 равносильно y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби \Rightarrow x = 2y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Нетрудно убедиться в том, что решение $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ $y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби$ удовлетворяет исходной системе.

Рассмотрим теперь систему (7), (8). Подставим условие (7) в уравнение (2):

$3 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка y плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2y правая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби = 5 равносильно дробь: числитель: 3 логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 y плюс 1 конец дроби = 5.$

Пусть $логарифм по основанию 2 y = t,$ тогда

$система выражений 3t в квадрате плюс 3t плюс t в квадрате минус 2t плюс 1 = 5t в квадрате минус 5,t не равно \pm 1 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате минус t минус 6 = 0,t не равно \pm 1 конец системы . равносильно совокупность выражений t = минус 3,t = 2. конец совокупности .$

Если $логарифм по основанию 2 y = минус 3,$ то $y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ (удовлетворяет условию (8)). Если же $логарифм по основанию 2 y = 2,$ то $y = 4$ (не удовлетворяет условию (8)). Таким образом, второе решение исходной системы $x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ,$ $y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2605

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 8 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь