Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2599

Решите систему уравнений  система выражений \log _2(11 минус 2y в квадрате )=\log _2(2x в квадрате минус 5yx плюс 11), 3\log _xy плюс \log _2yx=5. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Обозначим первое уравнение исходной системы (1), а второе (2). Уравнение (1) равносильно смешанной системе

 система выражений 11 минус 2y в квадрате = 2x в квадрате минус 5xy плюс 11,11 минус 2y в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений 2x в квадрате минус 5xy плюс 2y в квадрате = 0, \qquad (3) 11 минус 2y в квадрате больше 0. \qquad (4) конец системы .

Уравнение (3) решим как квадратное относительно x:

x_1, 2 = дробь: числитель: 5y \pm корень из (25y в квадрате минус 16y в квадрате ) , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 5y \pm 3y, знаменатель: 4 конец дроби .

Система (3), (4) распадается на совокупность двух систем:

 

 система выражений x=2y, \qquad (5)11 минус 2y в квадрате больше 0, \qquad (6) конец системы .

 система выражений x = дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби , \qquad (7)11 минус 2y в квадрате больше 0. \qquad (8) конец системы .

 

Подставим сначала условие (5) во второе уравнение исходной системы:

3 логарифм по основанию (2y) y плюс логарифм по основанию (2y) 2y = 5 равносильно 3 логарифм по основанию (2y) y = 4 равносильно дробь: числитель: 3 логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y плюс 1 конец дроби = 4 равносильно 3 логарифм по основанию 2 y = 4 логарифм по основанию 2 y плюс 4 равносильно

 равносильно логарифм по основанию 2 y = минус 4 равносильно y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби \Rightarrow x = 2y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

Нетрудно убедиться в том, что решение x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби удовлетворяет исходной системе.

Рассмотрим теперь систему (7), (8). Подставим условие (7) в уравнение (2):

 3 логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби ) y плюс логарифм по основанию (2y) дробь: числитель: y, знаменатель: 2 конец дроби = 5 равносильно дробь: числитель: 3 логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 2 y минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 y плюс 1 конец дроби = 5.

Пусть  логарифм по основанию 2 y = t, тогда

 система выражений 3t в квадрате плюс 3t плюс t в квадрате минус 2t плюс 1 = 5t в квадрате минус 5,t не равно \pm 1 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате минус t минус 6 = 0,t не равно \pm 1 конец системы . равносильно совокупность выражений t = минус 3,t = 2. конец совокупности .

Если  логарифм по основанию 2 y = минус 3, то y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби (удовлетворяет условию (8)). Если же  логарифм по основанию 2 y = 2, то y = 4 (не удовлетворяет условию (8)). Таким образом, второе решение исходной системы x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби , y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

 

 

Ответ: \left\ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2605

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 8 из 10