Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2597

Найдите общие точки графика функции y=x в кубе минус 5x в квадрате и прямой y плюс 7x минус 3=0. Есть ли среди них точки касания?

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение прямой в виде y = минус 7x плюс 3 и составим уравнение для поиска абсцисс точек пересечения.

x в кубе минус 5x в квадрате = минус 7x плюс 3 равносильно x в кубе минус 5x в квадрате плюс 7x минус 3 = 0. (*)

Нетрудно видеть, что один из корней уравнения равен 1 (сумма коэффициентов уравнения равна нулю). Найдем все при помощи схемы Горнера:

 

1−57−3
x1 = 11−430
x2 = 11−30
x3 = 310

 

Это числа x1 = 3, x2 = 1 и x3 = 1.

Таким образом, абсциссы точек пересечения 1 и 3, а сами точки пересечения M1(1; −3) и M2(3; −18). Вычислим значение производной функции y = x в кубе минус 5x в квадрате для каждой из найденных абсцисс точек пересечения. Производная y' = 3x в квадрате минус 10x. В точке M1 y'(1) = 3 минус 10 = минус 7, то есть значение производной равно угловому коэффициенту прямой y = минус 7x плюс 3 (эта прямая является касательной к графику функции). В точке M2 y'(3) = 27 минус 30 = минус 3, — значение производной не равно угловому коэффициенту прямой y = минус 7x плюс 3, и эта прямая пересекает график y = x в кубе минус 5x в квадрате и не является касательной к нему.

 

Ответ: M_1(1; минус 4); M_2(3; минус 18); M_1 — точка касания.

 

Замечание. Наличие точки касания можно было бы объяснить также кратностью корня x = 1 в уравнении (*) (корень второй степени).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2603

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции, Рациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 6 из 10