PDF-версии: 
Найдите общие точки графика функции 
и прямой 
Есть ли среди них точки касания?
Решение. Перепишем уравнение прямой в виде 
и составим уравнение для поиска абсцисс точек пересечения.
Нетрудно видеть, что один из корней уравнения равен 1 (сумма коэффициентов уравнения равна нулю). Найдем все при помощи схемы Горнера:
| 1 | −5 | 7 | −3 | ||
| x1 = 1 | 1 | −4 | 3 | 0 | |
| x2 = 1 | 1 | −3 | 0 | ||
| x3 = 3 | 1 | 0 |
Это числа x1 = 3, x2 = 1 и x3 = 1.
Таким образом, абсциссы точек пересечения 1 и 3, а сами точки пересечения M1(1; −3) и M2(3; −18). Вычислим значение производной функции 
для каждой из найденных абсцисс точек пересечения. Производная 
В точке M1 
то есть значение производной равно угловому коэффициенту прямой (эта прямая является касательной к графику функции). В точке M2 
— значение производной не равно угловому коэффициенту прямой 
и эта прямая пересекает график и не является касательной к нему.
Ответ: 
— точка касания.
Замечание. Наличие точки касания можно было бы объяснить также кратностью корня x = 1 в уравнении 
(корень второй степени).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— точка касания. — точка касания.