PDF-версии: 
Найдите все такие числа a, для каждого из которых существует только одно число b, такое, что 
Решение. Рассмотрим выражение 
как непрерывную и дифференцируемую на 
функцию 
и выясним, при каких a она принимает значение, равное 1, только один раз. Производная функции равна
Первый случай: 
В этом случае таблица монотонности функции 
имеет вид, представленный на рисунке а). Поскольку 
а 
то значение, равное единице, принимается один раз, если 
то есть при 
Учитывая, что 
получим для первого случая все a, удовлетворяющие условию задачи: 
Второй случай: 
В этом случае 
и функция принимает значение 1 ровно один раз.
Третий случай: 
Таблица монотонности для этого случая приведена на рисунке б). Так как 
то значение 1 принимается один раз при всех рассматриваемых a, то есть
Объединяя три случая, получаем, что условию задачи удовлетворяют все
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |