Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2582
i

Мно­же­ство точек ком­плекс­ной плос­ко­сти опре­де­ля­ет­ся усло­ви­ем |z плюс 4 минус 3i| мень­ше или равно 1. В каких пре­де­лах из­ме­ря­ет­ся  дробь: чис­ли­тель: Re z, зна­ме­на­тель: Im z конец дроби ?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство |z плюс 4 минус 3i| мень­ше или равно 1 за­да­ет на ком­плекс­ной плос­ко­сти круг с цен­тром в точке  левая круг­лая скоб­ка минус 4; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ра­ди­у­сом 1. Если z=x плюс iy, то  дробь: чис­ли­тель: Re z, зна­ме­на­тель: Im z конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби . Не­ра­вен­ство, за­да­ю­щее круг, имеет вид  левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 1. За­да­ча све­лась к на­хож­де­нию зна­че­ний па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

 си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 1, дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: y конец дроби =a конец си­сте­мы .

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Пе­ре­фор­му­ли­ру­ем за­да­чу: какие зна­че­ния может при­ни­мать уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и име­ю­щей с кру­гом  левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 1 хотя бы одну общую точку?

На ри­сун­ке OA и OB  — ка­са­тель­ные; F и K  — про­ек­ции точек A и B со­от­вет­ствен­но на ось Ox. Усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют все такие a, для ко­то­рых

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка Пи минус \angleAOF пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби мень­ше или равно тан­генс левая круг­лая скоб­ка Пи минус \angleBOK пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вы­чис­лим  тан­генс \angle AOF. Имеем, что  \angle AOF= \angle AOM плюс \angle MOF. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOM най­дем

 \angle AOM = арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ;  \angle MOF= \angle MOP= арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Имеем:

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка Пи минус \angle AOF пра­вая круг­лая скоб­ка = минус тан­генс AOF= минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =
= минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ана­ло­гич­но на­хо­дит­ся

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка Пи минус \angle BOK пра­вая круг­лая скоб­ка = минус тан­генс \angle BOK= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

В итоге по­лу­ча­ем

 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: минус 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2576

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Урав­не­ния с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми и их си­сте­мы
?
Сложность: 9 из 10