Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2576

Множество точек комплексной плоскости определяется условием |z минус 3 минус 4i| меньше или равно 1. В каких пределах изменяется  дробь: числитель: Imz, знаменатель: Rez конец дроби ?

Спрятать решение

Решение.

Множество точек, заданное условием |z минус 3 минус 4i| меньше или равно 1, определяет на комплексной плоскости круг радиусом 1 с центром в точке (3;4). Такой круг в системе координат xOy задается неравенством (x минус 3) в квадрате плюс (y минус 4) в квадрате меньше или равно 1. Если z=x плюс iy, то Im z=y; и

Re z=x;  дробь: числитель: Imz, знаменатель: Rez конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби .

Задача свелась к определения границ, в которых может изменятся соотношение  дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби при условии (x минус 3) в квадрате плюс (y минус 4) в квадрате меньше или равно 1. Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях c система:

 система выражений (x минус 3) в квадрате плюс (y минус 4) в квадрате меньше или равно 1, дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби =c конец системы .

имеет хотя бы одно решение? Последняя система равносильна такой:

 система выражений y=cx,(x минус 3) в квадрате плюс (cx минус 4) в квадрате меньше или равно 1, конец системы . равносильно система выражений y=cx,(c в квадрате плюс 1)x в квадрате минус 2(3 плюс 4c)x плюс 24 меньше или равно 0. конец системы .

Система будет иметь решения тогда и только тогда, когда будет иметь решения неравенство

(c в квадрате плюс 1)x в квадрате минус 2(3 плюс 4c)x плюс 24 меньше или равно 0.

Это неравенство квадратное, коэффициент x в квадрате положителен, поэтому неравенство имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в его левой части, неотрицателен. Имеем:

 дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =(3 плюс 4c) в квадрате минус 24(c в квадрате плюс 1)= минус 8c в квадрате плюс 24c минус 15;

 дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби больше или равно 0:  минус 8c в квадрате плюс 24c минус 15 больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (6 минус корень из (6) ) меньше или равно c меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (6 плюс корень из (6) ).

 

Ответ:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (6 минус корень из (6) ); дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (6 плюс корень из (6) ) правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2582

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Действия над комплексными числами , Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 9 из 10