№ 2576 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 28. Комплексные числа: специальные свойства
i
Множество точек комплексной плоскости определяется условием
В каких пределах изменяется 
Спрятать решениеРешение. Множество точек, заданное условием
определяет на комплексной плоскости круг радиусом 1 с центром в точке
Такой круг в системе координат xOy задается неравенством
Если
то
и

Задача свелась к определения границ, в которых может изменятся соотношение
при условии
Вопрос может быть сформулирован так: при каких значениях c система:

имеет хотя бы одно решение? Последняя система равносильна такой:

Система будет иметь решения тогда и только тогда, когда будет иметь решения неравенство

Это неравенство квадратное, коэффициент
положителен, поэтому неравенство имеет решения, если дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в его левой части, неотрицателен. Имеем:


Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2582