PDF-версии: 
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Решение. Графики функций 
и 
пересекаются в точке A с абсциссой (−3). Имеем:
Заданная фигура изображена на рисунке. Предложим для вычисления ее площади способ, использующий симметрию графика относительно точки M(−2; 3).
Убедимся в том, что этот график центрально симметричен относительно M. Покажем, что если M1(−2 + 𝛼; 3 + 𝛽) принадлежит графику, то ему также принадлежит M2(−2 − 𝛼; 3 − 𝛽). Для M1 имеем равенство
тогда
то есть M2 действительно лежит на данном графике.
Из симметрии следует равенство «двуугольников» MC и MA, а следовательно, равенство их площадей. Поэтому площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника AOC, которую можно вычислить как разность площади прямоугольника ODPK и суммы площадей треугольников APC, CDO и AKO:
Ответ: 5.
Замечание. Решение этой задачи стандартными приемами, может быть, более эффективно (смотри задание № 3 первого варианта). Приведенное решение навеяно скорее не прагматическими, а эстетическими соображениями и, думаем, с этой точки зрения будет по достоинству оценено читателями.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |