PDF-версии: 
При каких x наибольшее значение функции 
на отрезке не меньше числа 2?
Решение. I способ. Перейдем к эквивалентной задаче: «При каких x наибольшее значение функции 
на отрезке [x; x + 2] неотрицательно?» Преобразуем выражение для 𝜑(t):
Заметим, 𝜑(t) неотрицательно, когда либо 
либо 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы на отрезке [x; x + 2] нашлась хотя бы одна точка, для которой 𝜑(t) неотрицательно, то есть точка с координатой, меньшей либо равной −2, либо точка 1. Это описывается совокупностью неравенства 
и двойного неравенства 
откуда x ∈ (−∞; −2] ∪ [−1; 1].
II способ. Исследуем функцию 
где f(x) — наибольшее значение функции g(t) на отрезке [x; x + 2]. Для этого вначале рассмотрим функцию g(t). Она определена и дифференцируема на ℝ, 
ее критические точки −1 и 1. Функция g(t) убывает при 
и 
и возрастает при 
Поскольку g(t) убывает на (−∞; −1] и на [1; +∞), то при 
и при 
ее наибольшее значение на отрезке [x; x + 2] достигается в левом конце отрезка, то есть при t = x. Следовательно, при x ∈ (-∞; −3] ∪ [1; +∞) функция f(x) совпадает с g(x).
Пусть x ∈ (−1; 1). Точка t0 = 1 — точка максимума функции g(t) — принадлежит отрезку [x; x + 2], поэтому для всех x ∈ (−1; 1) выполнено f(x) = 2.
Если x ∈ (−3; −1], то на отрезке [x; x + 2] лежит точка (−1) — точка минимума функции g(t). Для таких x значение f(x) равно наибольшему их двух значений: g(x) и g(x + 2). Среди x ∈ (−3; −1] определим такие, для которых g(x + 2) > g(x) (для оставшихся, очевидно будет выполняться неравенство g(x + 2) ⩽ g(x)):
Поскольку 
то 
при 
Теперь можно задать аналитически функцию f.
Остается решить неравенство 
Получаем три системы:
Объединяя результаты, получим: 
при и при 
Замечание. Безусловно, первый из предложенных способов более изящен и более эффективен. Ценность второго способа заключается в том, что он демонстрирует прием конструирования функций вида 
который может оказаться полезными при решении других задач на аналогичную тематику.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |