Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2546
i

Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство ре­ше­ний двой­но­го не­ра­вен­ства  минус 2 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y минус 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­ним двой­ное не­ра­вен­ство си­сте­мой не­ра­венств

 си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y минус 2 конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y минус 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та плюс 2. конец си­сте­мы .

Воз­ве­дем в квад­рат каж­дое из этих не­ра­венств. Такая опе­ра­ция до­пу­сти­ма, по­сколь­ку мы имеем ело с не­от­ри­ца­тель­ны­ми ве­ли­чи­на­ми. Учтем также не­от­ри­ца­тель­ность под­ко­рен­ных вы­ра­же­ний. По­лу­чим

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 4 мень­ше или равно x плюс 2y минус 2,x минус 4 боль­ше или равно 0, x плюс 2y минус 2 мень­ше или равно x минус 4 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та плюс 4, x плюс 2y минус 2 боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

По­след­нее не­ра­вен­ство яв­ля­ет­ся след­стви­ем пер­вых двух, по­это­му может быть опу­ще­но. Для осталь­ных не­ра­венств по­лу­чим си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний y боль­ше или равно минус 1, x боль­ше или равно 4, y мень­ше или равно 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та . конец си­сте­мы .

Про­стро­им гра­фи­ки y = минус 1; x = 4 и y = 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та . Тре­бу­е­мая об­ласть опре­де­ля­ет­ся этими гра­фи­ка­ми, гра­ни­цы при­над­ле­жат этой об­ла­сти (см. рис.).

За­ме­ча­ние. Об­ра­ща­ем вни­ма­ние на тех­ни­ку ра­бо­ты с ир­ра­ци­о­наль­ны­ми не­ра­вен­ства­ми. Мы не слу­чай­но для не­ра­вен­ства  минус 2 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y минус 2 конец ар­гу­мен­та вы­бра­ли форму за­пи­си в виде  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y минус 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 4 конец ар­гу­мен­та . Этим самым мы по­лу­чи­ли не­ра­вен­ство с не­от­ри­ца­тель­ны­ми ча­стя­ми, воз­ве­де­ние в квад­рат ко­то­ро­го (ко­неч­но, с уче­том об­ла­сти опре­де­ле­ния каж­до­го из вы­ра­же­ний) яв­ля­ет­ся рав­но­силь­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2540

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 9 из 10