Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2546

Изобразите на координатной плоскости множество решений двойного неравенства  минус 2 меньше или равно корень из (x минус 4) минус корень из (x плюс 2y минус 2) меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Заменим двойное неравенство системой неравенств

 система выражений корень из (x минус 4) меньше или равно корень из (x плюс 2y минус 2) , корень из (x плюс 2y минус 2) меньше или равно корень из (x минус 4) плюс 2. конец системы .

Возведем в квадрат каждое из этих неравенств. Такая операция допустима, поскольку мы имеем ело с неотрицательными величинами. Учтем также неотрицательность подкоренных выражений. Получим

 система выражений x минус 4 меньше или равно x плюс 2y минус 2,x минус 4 больше или равно 0, x плюс 2y минус 2 меньше или равно x минус 4 плюс 4 корень из (x минус 4) плюс 4, x плюс 2y минус 2 больше или равно 0. конец системы .

Последнее неравенство является следствием первых двух, поэтому может быть опущено. Для остальных неравенств получим систему

 система выражений y больше или равно минус 1, x больше или равно 4, y меньше или равно 1 плюс 2 корень из (x минус 4) . конец системы .

Простроим графики y = минус 1; x = 4 и y = 1 плюс 2 корень из (x минус 4) . Требуемая область определяется этими графиками, границы принадлежат этой области (см. рис.).

Замечание. Обращаем внимание на технику работы с иррациональными неравенствами. Мы не случайно для неравенства  минус 2 меньше или равно корень из (x минус 4) минус корень из (x плюс 2y минус 2) выбрали форму записи в виде  корень из (x плюс 2y минус 2) меньше или равно 2 плюс корень из (x минус 4) . Этим самым мы получили неравенство с неотрицательными частями, возведение в квадрат которого (конечно, с учетом области определения каждого из выражений) является равносильным преобразованием.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2540

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные неравенства
?
Сложность: 9 из 10