Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2540
i

Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство ре­ше­ний двой­но­го не­ра­вен­ства 0 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем двой­ное не­ра­вен­ство в виде си­сте­мы не­ра­венств:  си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та . конец си­сте­мы .

В обеих ча­стях каж­до­го из не­ра­венств стоят не­от­ри­ца­тель­ные ве­ли­чи­ны. Можно обе части каж­до­го из не­ра­венств воз­ве­сти в квад­рат, учи­ты­вая при этом об­ласть су­ще­ство­ва­ния каж­до­го из вы­ра­же­ний.

Для пер­во­го не­ра­вен­ства по­лу­чим:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 2 мень­ше или равно x плюс 2y,x плюс 2 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y боль­ше или равно 1,x боль­ше или равно минус 2. конец си­сте­мы .

Для вто­ро­го не­ра­вен­ства имеем:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2y конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 2y мень­ше или равно 1 плюс x плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та ,x плюс 2y боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y мень­ше или равно 1,5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та ,y боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы .

Об­ла­сти, за­да­ва­е­мые не­ра­вен­ства­ми y боль­ше или равно 1, а также x боль­ше или равно минус 2 и y боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пред­став­ля­ют собой по­лу­плос­ко­сти, об­ласть, за­дан­ная не­ра­вен­ством y мень­ше или равно 1,5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та , пред­став­ля­ет собой для всех x боль­ше или равно минус 2 часть плос­ко­сти, ле­жа­щей не выше гра­фи­ка функ­ции y = 1,5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та .

Ис­ко­мое мно­же­ство ре­ше­ний двой­но­го не­ра­вен­ства на­хо­дит­ся в пе­ре­се­че­нии этих че­ты­рех об­ла­стей и изоб­ра­же­но на ри­сун­ке.

От­ме­тим, что гра­ни­ца об­ла­сти изоб­ра­жа­ет­ся сплош­ной ли­ни­ей, по­сколь­ку все точки гра­ни­цы при­над­ле­жат ис­ко­мой об­ла­сти.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2546

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 9 из 10