РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2544

Решите уравнение $синус x минус синус 3x = | косинус 2x|.$

Решение.

Преобразуем уравнение к виду $минус 2 синус x умножить на косинус 2x = | косинус 2x|.$ Далее можно было бы раскрывать знак модуля в правой части и рассматривать два случая ( $косинус 2x больше или равно 0$ и $косинус 2x меньше 0$ ).

Продемонстрируем другой подход, основанный на переходе от исходного уравнения к уравнению-следствию с последующей проверкой полученных корней. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат и преобразуем получившееся равенство:

$4 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате 2x = косинус в квадрате 2x равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 0,5 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0,$ $4 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате 2x = косинус в квадрате 2x равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x левая круглая скобка 0,5 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0,$

откуда либо $косинус 2x = 0,$ либо $косинус 2x = 0,5.$

Если $косинус 2x = 0,$ то обе части исходного уравнения обращаются в ноль, и все решения уравнения $косинус 2x = 0,$ то есть $x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ где $k принадлежит Z ,$ являются решениями исходного уравнения.

Пусть $косинус 2x = 0,5.$ Тогда $x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n,$ $n принадлежит Z .$ Заметим, что если x₀  — корень исходного уравнения, то $x_0 плюс 2 Пи p,$ $p принадлежит Z$   — тоже его корень.

Таким образом, достаточно найти корни на промежутке $левая квадратная скобка 0; 2 Пи правая круглая скобка .$ Среди чисел вида $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n$ таких чисел четыре: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$ Проверим каждое из них.

При $x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ левая часть исходного уравнения отрицательна, а правая положительна.

При $x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ значения левой и правой частей равны $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом, решениями исходного уравнения будут три серии:

$дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n;$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m,$ где $k, m, n принадлежит Z .$

В окончательном виде представим последние две серии в более привычной форме.

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m : k, m, n принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2538

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Тригонометрические уравнения

Сложность: 7 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь