Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2544

Решите уравнение  синус x минус синус 3x = | косинус 2x|.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение к виду  минус 2 синус x умножить на косинус 2x = | косинус 2x|. Далее можно было бы раскрывать знак модуля в правой части и рассматривать два случая ( косинус 2x больше или равно 0 и  косинус 2x меньше 0).

Продемонстрируем другой подход, основанный на переходе от исходного уравнения к уравнению-следствию с последующей проверкой полученных корней. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат и преобразуем получившееся равенство:

4 синус в квадрате x умножить на косинус в квадрате 2x = косинус в квадрате 2x равносильно косинус в квадрате x (4 синус в квадрате x минус 1) = 0 равносильно
 равносильно косинус в квадрате 2x(2(1 минус косинус 2x) минус 1) = 0 равносильно 2 косинус в квадрате 2x(0,5 минус косинус 2x) = 0,

откуда либо  косинус 2x = 0, либо  косинус 2x = 0,5.

Если  косинус 2x = 0, то обе части исходного уравнения обращаются в ноль, и все решения уравнения  косинус 2x = 0, то есть x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , где k принадлежит Z , являются решениями исходного уравнения.

Пусть  косинус 2x = 0,5. Тогда x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n, n принадлежит Z . Заметим, что если x0 — корень исходного уравнения, то x_0 плюс 2 Пи p, p принадлежит Z  — тоже его корень.

Таким образом, достаточно найти корни на промежутке [0; 2 Пи ). Среди чисел вида \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n таких чисел четыре:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;  дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;  дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби . Проверим каждое из них.

При x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби и x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби левая часть исходного уравнения отрицательна, а правая положительна.

При x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби и x = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби значения левой и правой частей равны  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Таким образом, решениями исходного уравнения будут три серии:

 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ;  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n;  дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m, где k, m, n принадлежит Z .

В окончательном виде представим последние две серии в более привычной форме.

 

Ответ: \left \ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи m : k, m, n принадлежит Z \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2538

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 7 из 10