РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2505

Найдите все общие точки графика функции $y = 3x минус x в кубе$ и касательной, проведенной к этому графику через точку N(0; 16).

Спрятать решение

Решение.

Точка N не лежит на графике данной функции. Напишем уравнение касательной к графику функции через лежащую на нем точку $M левая круглая скобка x_0; 3x_0 минус x_0 в кубе правая круглая скобка : y = левая круглая скобка 3 минус 3x_0 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс 3x_0 минус x_0 в кубе .$

Так как на этой прямой должна лежать точка N, то

$16 = левая круглая скобка 3 минус 3x_0 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 0 минус x_0 правая круглая скобка плюс 3x_0 минус x_0 в кубе равносильно 16 = минус 3x_0 плюс x_0 в кубе плюс 3x_0 минус x_0 в кубе равносильно x_0 в кубе = 8 равносильно x_0 = 2.$ $16 = левая круглая скобка 3 минус 3x_0 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 0 минус x_0 правая круглая скобка плюс 3x_0 минус x_0 в кубе равносильно$
$равносильно 16 = минус 3x_0 плюс x_0 в кубе плюс 3x_0 минус x_0 в кубе равносильно x_0 в кубе = 8 равносильно x_0 = 2.$

Через данную точку проходит единственная касательная:

$y = левая круглая скобка 3 минус 3 умножить на 2 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 минус 2 в кубе = минус 9x плюс 16.$

Рассмотрим уравнение: $3x минус x в кубе = минус 9x плюс 16,$ т. е. $x в кубе минус 12x плюс 16 = 0.$ Заметим, что x₁  =  2 является корнем этого уравнения. Используя схему Горнера или разделив это уравнение на (x − 2), найдем x₂  =  2 и x₃  =  −4.

Остается подставить эти числа в исходное уравнение и найти точки пересечения.

Ответ: M(2; −2); K(−4; 52).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2511

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1992 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь