РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2499

При каких значениях t из точки M(t; −3) можно провести только одну касательную к графику функции $y = x в кубе минус 3x минус 1?$

Спрятать решение

Решение.

Уравнение касательной в точке графика с абсциссой x₀ имеет вид: $y = 3 левая круглая скобка x_0 в квадрате минус 1 правая круглая скобка x минус 2x_0 в кубе минус 1.$ Так как касательная проходит через точку M(t; −3), то

$3 левая круглая скобка x_0 в квадрате минус 1 правая круглая скобка x минус 2x_0 в кубе минус 1 = минус 3 равносильно левая круглая скобка 3x_0 плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 минус 1 правая круглая скобка t минус 2 левая круглая скобка x_0 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 в квадрате плюс x_0 плюс 1 правая круглая скобка = 0.$ $3 левая круглая скобка x_0 в квадрате минус 1 правая круглая скобка x минус 2x_0 в кубе минус 1 = минус 3 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3x_0 плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 минус 1 правая круглая скобка t минус 2 левая круглая скобка x_0 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 в квадрате плюс x_0 плюс 1 правая круглая скобка = 0.$

Отсюда x₀  =  1 или $2x_0 в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус 3t правая круглая скобка x_0 плюс 2 минус 3t = 0.$

Рассматривая данное уравнение как квадратное относительно x₀, находим t, при которых оно не имеет решения.

$D = левая круглая скобка 2 минус 3t правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 2 минус 3t правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 минус 3t правая круглая скобка левая круглая скобка минус 3t минус 6 правая круглая скобка .$ $D меньше 0 равносильно минус 2 меньше t меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Необходимо также отметить, что в случае, когда квадратное уравнение имеет единственный корень $левая круглая скобка при t = минус 2 и t = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$ этот корень отличен от числа 1, т. е. кубическое уравнение будет иметь два различных корня.

Ответ: при всех $t принадлежит левая круглая скобка минус 2; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2492

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1992 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Касательная к графику функции

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь