РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2487

Для каждого a укажите количество корней уравнения $\ln в квадрате x = дробь: числитель: a, знаменатель: x конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Данное уравнение равносильно уравнению $x \ln в квадрате x = a.$ Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x \ln в квадрате x,$ дифференцируемую на интервале (0; + ∞):

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = \ln в квадрате x плюс 2 натуральный логарифм x = натуральный логарифм x левая круглая скобка натуральный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка .$

Найдем нули производной:

$натуральный логарифм x левая круглая скобка натуральный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 1,x = e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка . конец совокупности .$

Изучим поведение функции в этих точках. Точка $x = 1$   — точка минимума, $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 0.$ Точка $x = e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$   — точка максимума, $f левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$ (см. рис.). Изучим поведение функции на бесконечности и около нуля: $\lim_x \to плюс бесконечность f левая круглая скобка x правая круглая скобка = плюс бесконечность ,$

$\lim_x \to плюс 0 левая круглая скобка x \ln в квадрате x правая круглая скобка = \lim_x \to плюс бесконечность левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка умножить на \ln в квадрате e в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = \lim_x \to плюс бесконечность дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: e в степени x конец дроби = 0.$

Построим эскиз графика функции (см. рис.), откуда получим ответ.

Ответ:

при $a меньше 0$ корней нет;

при $a = 0$ и $a больше 4e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$ один корень;

при $a = 4e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$ два корня;

при $0 меньше a меньше 4e в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$ три корня.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2481

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1992 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Задачи с параметром

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь