Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2480
i

Най­ди­те все такие точки M гра­фи­ка функ­ции y = x в квад­ра­те минус 4x, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этим гра­фи­ком, ка­са­тель­ной к гра­фи­ку, про­хо­дя­щей через точку M, и осью ко­ор­ди­нат, равна 72.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мая точка гра­фи­ка y = x в квад­ра­те минус 4x может быть рас­по­ло­же­на как спра­ва, так и слева от оси Oy. Учи­ты­вая, что урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y = x в квад­ра­те минус 4x в точке с абс­цис­сой x0 y = левая круг­лая скоб­ка 2 x_0 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус x_0 в квад­ра­те и ка­са­тель­ная лежит ниже па­ра­бо­лы  левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка 2 x_0 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус x_0 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , за­дан­ную пло­щадь можно за­пи­сать:

1)  при x_0 боль­ше 0

S = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до x_0, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x минус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x_0 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус x_0 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал \limits_0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | пре­де­лы: от 0 до x_0, = дробь: чис­ли­тель: x_0 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;

2)  при x_0 мень­ше 0

S = ин­те­грал пре­де­лы: от x_0 до 0, левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби | пре­де­лы: от x_0 до 0, = минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Из урав­не­ний  дробь: чис­ли­тель: x_0 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 72 при x_0 боль­ше 0 и  минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 72 при x_0 мень­ше 0 на­хо­дим x_0 минус 6 или x_0 = минус 6. Ис­ко­мые точки: (−6; 60) и (6; 12).

 

Ответ: (−6; 60) и (6; 12).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2486

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 9 из 10