Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2475
i

Из всех чисел z, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию z в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка \barz пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16, най­ди­те такие, что |z минус 5| плюс |z минус 5i| при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=x плюс yi, тогда усло­вие можно за­пи­сать в виде

левая круг­лая скоб­ка x плюс yi пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x минус yi пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2xyi минус y в квад­ра­те минус x в квад­ра­те плюс 2xyi плюс y в квад­ра­те =16 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 4xyi=16 рав­но­силь­но xy= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: i конец дроби = минус 4i,

что оче­вид­но не­воз­мож­но для ве­ще­ствен­ных x и y.

Воз­мож­но усло­вие долж­но вы­гля­деть так  — z в квад­ра­те минус \overlinez в квад­ра­те =16i, тогда по­лу­ча­ем 4xyi=16i, от­ку­да xy=4. Вы­ра­же­ние \absz минус 5 плюс \absz минус 5i пред­став­ля­ет собой сумма рас­сто­я­ний от z до точек 5 и 5i. Оче­вид­но эта сумма ми­ни­маль­на, когда z лежит на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем эти точки  — то есть на от­рез­ке пря­мой y=5 минус x при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

x левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 5x плюс 4=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1,x=4, конец со­во­куп­но­сти .

от­сю­да y=4 или y=1. Итого: z=4 плюс i или z=1 плюс 4i.

 

Ответ: z=4 плюс i или z=1 плюс 4i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2469

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025