Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2469
i

Из всех чисел z, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию z умно­жить на \bar z =25, най­ди­те такие, что |z минус 7| плюс |z минус 7i| при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Мо­дуль \absz минус 7 это рас­сто­я­ние от z до 7, а \absz минус 7i  — рас­сто­я­ние от z до 7i. Зна­чит, сумма этих рас­сто­я­ний не мень­ше рас­сто­я­ния между точ­ка­ми 7 и 7i, рав­но­го  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и может быть равно 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та толь­ко для точек, ле­жа­щих на от­рез­ке между этими точ­ка­ми. На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти это точки  левая круг­лая скоб­ка 7;0 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 0;7 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му урав­не­ние про­хо­дя­щей через них пря­мой имеет вид y=7 минус x.

Усло­вие z\overlinez=25 рав­но­силь­но усло­вию \absz=5, то есть точка z лежит на окруж­но­сти ра­ди­у­са 5 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты всех таких точек удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =25, а нас ин­те­ре­су­ют точки пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти с от­рез­ком пря­мой. Под­ста­вим y=7 минус x:

x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 7 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =25 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 49 минус 14x плюс x в квад­ра­те =25 рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 14x плюс 24=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 7x плюс 12=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3,x=4. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда y=4 или y=3 со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, z=3 плюс 4i или z=4 плюс 3i.

 

Ответ: 3 плюс 4i, 4 плюс 3i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2475

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 10 из 10