Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2427
i

Три кон­ден­са­то­ра, со­единённых па­рал­лель­но, об­ра­зу­ют ба­та­рею ёмко­стью C. Ка­ко­ва наи­боль­шая воз­мож­ная ёмкость ба­та­реи, со­став­лен­ной из тех же кон­ден­са­то­ров, со­еди­не­ние ко­то­рых по­ка­за­но на ри­сун­ке, если из­вест­но, что C1 : C2  =  5 : 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый кон­ден­са­тор имеет ем­кость 5x, вто­рой 3x, а тре­тий y. Тогда общая ем­кость ба­та­реи при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии равна 3x плюс 5x плюс y=C, от­ку­да y=C минус 8x. Ем­кость ба­та­реи, по­ка­зан­ной на ри­сун­ке, равна

5x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: C минус 8x конец дроби конец дроби = 5x плюс дробь: чис­ли­тель: 3x левая круг­лая скоб­ка C минус 8x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: C минус 8x плюс 3x конец дроби = 5x плюс дробь: чис­ли­тель: 3xC минус 24x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: C минус 5x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 5xC минус 25x в квад­ра­те плюс 3xC минус 24x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: C минус 5x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8xC минус 49x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: C минус 5x конец дроби .

Сразу ясно, что C боль­ше 5x. Таким об­ра­зом, нас ин­те­ре­су­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние функ­ции  дробь: чис­ли­тель: 8xC минус 49x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: C минус 5x конец дроби при 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби C. Возь­мем ее про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8xC минус 49x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: C минус 5x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 8C минус 98x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 8xC минус 49x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 8C в квад­ра­те минус 98xC минус 40xC плюс 490x в квад­ра­те плюс 40xC минус 245x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8C в квад­ра­те минус 98xC плюс 245x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2C минус 7x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4C минус 35x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

Зна­ме­на­тель не­от­ри­ца­те­лен на всем про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби C пра­вая круг­лая скоб­ка ,

2C минус 7x боль­ше или равно 2C минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби C боль­ше 0,

по­это­му знак про­из­вод­ной опре­де­ля­ет­ся зна­ком вы­ра­же­ния 4C минус 35x, то есть она от­ри­ца­тель­на при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C и по­ло­жи­тель­на при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C. Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C и убы­ва­ет при x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C. По­это­му при x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C она при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние, рав­ное

 дробь: чис­ли­тель: 8C умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C минус 49 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: C минус 5 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби C в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 160C в квад­ра­те минус 112C в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 75C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 75 конец дроби C= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби C.

 

Ответ: при x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 35 конец дроби C ем­кость ба­та­рее при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние, рав­ное  дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби C.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2421

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10