Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2421
i

Три кон­ден­са­то­ра, со­единённых па­рал­лель­но, об­ра­зу­ют ба­та­рею ёмко­стью C. При каких зна­че­ни­ях ёмко­стей кон­ден­са­то­ров ёмкость ба­та­реи, по­лу­чен­ной при их по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии, будет наи­боль­шей, если из­вест­но, что C1 : C2  =  4 : 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из усло­вия сле­ду­ет, что ем­ко­сти кон­ден­са­то­ров можно обо­зна­чить за 4x, x, C − 5x со­от­вет­ствен­но. Обо­зна­чим ем­кость ба­та­реи при по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии за f(x). Тогда

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: C минус 5x конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 4x левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: C минус 5x плюс 4 левая круг­лая скоб­ка C минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4xC минус 20x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 5C минус 21x конец дроби .

Те­перь возь­мем про­из­вод­ную этой функ­ции

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4C минус 40x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5C минус 21x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 4xC минус 20x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 21 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 5C минус 21x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: 20C в квад­ра­те минус 284Cx плюс 84Cx плюс 420x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 5C минус 21x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20 левая круг­лая скоб­ка C в квад­ра­те минус 10Cx плюс 21x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 5C минус 21x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20 левая круг­лая скоб­ка 3x минус C пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7x минус C пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 5C минус 21x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

По смыс­лу за­да­чи x мень­ше дробь: чис­ли­тель: C, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: C, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­это­му мак­си­маль­ное зна­че­ние f(x) до­сти­га­ет­ся при x= дробь: чис­ли­тель: C, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Тогда 4x= дробь: чис­ли­тель: 4C, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби  и C минус 5x= дробь: чис­ли­тель: 2C, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: C, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4C, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2C, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2427

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1990 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 10 из 10