Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2316
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций y=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та , y=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та и ка­са­тель­ной, про­ведённой к гра­фи­ку функ­ции y=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та в точке M(−4; 8).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

От­ме­тим, что точка (−4; 8) лежит на гра­фи­ке. Сна­ча­ла возь­мем про­из­вод­ную от y=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та :

 левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка '=4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка '=4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит, y' левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 1 и урав­не­ние ка­са­тель­ной будет

y= минус 1 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 рав­но­силь­но y= минус x минус 4 плюс 8 рав­но­силь­но y= минус x плюс 4.

По­сколь­ку это ка­са­тель­ная к ветви па­ра­бо­лы, дру­гих общих точек с гра­фи­ком она не имеет. Най­дем те­перь точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с гра­фи­ком функ­ции y=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , решив урав­не­ние:

3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та = минус x плюс 4 рав­но­силь­но 9x= левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 9x=16 минус 8x плюс x в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 17x плюс 16=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 16 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­сю­да x=1 или x=16 (по­сто­рон­ний ко­рень, для него  минус x плюс 4 от­ри­ца­тель­но).

Кроме того, функ­ция y=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та опре­де­ле­на толь­ко при x мень­ше или равно 0, функ­ция y=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та опре­де­ле­на толь­ко при x боль­ше или равно 0 и при x  =  0 они обе равны 0. В точке 0 функ­ция y= минус x плюс 4 при­ни­ма­ет зна­че­ние 4 > 0, по­это­му об­ласть огра­ни­че­на свер­ху ка­са­тель­ной. а снизу  — гра­фи­ка­ми функ­ций. Итого по­лу­ча­ем:

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 4 до 0, левая круг­лая скоб­ка минус x плюс 4 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка минус x плюс 4 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 4 до 0, левая круг­лая скоб­ка минус x плюс 4 минус 4 левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 1, левая круг­лая скоб­ка минус x плюс 4 минус 3x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x минус 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \tfrac32 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 4 в сте­пе­ни 0 плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x минус 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \tfrac32 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни 1 =

= левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 4 в сте­пе­ни 0 плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 4x минус 2x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни 1 =

= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0 плюс 4 умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 16 минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 плюс 4 умно­жить на 1 минус 2 умно­жить на 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0 минус 4 умно­жить на 0 плюс 2 умно­жить на 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка =

=0 плюс 0 плюс 0 плюс 8 плюс 16 минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 минус 2 плюс 0 минус 0 плюс 0=
= 26 минус дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =26 минус целая часть: 21, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =5 минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 .

Ответ:  целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2321

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1987 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 9 из 10