Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2321
i

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ка­ми функ­ций y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та , y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та и ка­са­тель­ной, про­ведённой к гра­фи­ку функ­ции y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та в точке M(5; 5).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

От­ме­тим, что точка (5; 5) лежит на гра­фи­ке. Сна­ча­ла возь­мем про­из­вод­ную от y=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та :

 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5x пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на 5= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит y' левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и урав­не­ние ка­са­тель­ной будет

y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 рав­но­силь­но y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 5 рав­но­силь­но y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку это ка­са­тель­ная к ветви па­ра­бо­лы, дру­гих общих точек с гра­фи­ком она не имеет. Най­дем те­перь точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с гра­фи­ком функ­ции y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та , решив урав­не­ние:

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та =x плюс 5 рав­но­силь­но минус 16x= левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но минус 16x=25 плюс 10x плюс x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 26x плюс 25=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­ку­да x  =  −1 или x  =  −25 (по­сто­рон­ний ко­рень, для него x + 5 от­ри­ца­тель­но). Кроме того, функ­ция y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та опре­де­ле­на толь­ко при x мень­ше или равно 0, функ­ция y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та опре­де­ле­на толь­ко при x боль­ше или равно 0 и при x  =  0 они обе равны 0. В точке 0 функ­ция y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при­нимfет зна­че­ние  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0, по­это­му об­ласть огра­ни­че­на свер­ху ка­са­тель­ной. а снизу  — гра­фи­ка­ми функ­ций. Итого по­лу­ча­ем:

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1 до 0, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 5, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1 до 0, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 5, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \tfrac32 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 1 в сте­пе­ни 0 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \tfrac32 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни 5 =
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 1 в сте­пе­ни 0 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 5x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка |_0 в сте­пе­ни 5 =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 1 минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 25 плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на 25 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 0 минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на 0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac32 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 0 плюс 0 плюс 0 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на 125 минус 0 минус 0 минус 0=
= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 25 минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 25 плюс 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 50, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =6 плюс 15 минус дробь: чис­ли­тель: 54, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =21 минус 18=3.

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2316

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1987 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 9 из 10