Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2301
i

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD со сто­ро­ной ос­но­ва­ния a и вы­со­той SO, рав­ной h, рас­по­ло­же­на дру­гая пи­ра­ми­да, вер­ши­на ко­то­рой на­хо­дит­ся в точке O, а ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся се­че­ние дан­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, па­рал­лель­ной её ос­но­ва­нию. Най­ди­те наи­боль­ший воз­мож­ный объём вто­рой пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть S  — вер­ши­на боль­шой пи­ра­ми­ды, O  — центр ее ос­но­ва­ния и вер­ши­на ма­лень­кой, O1  — центр ос­но­ва­ния ма­лень­кой  левая круг­лая скоб­ка O_1 при­над­ле­жит OS пра­вая круг­лая скоб­ка , M  — точка пе­ре­се­че­ния апо­фе­мы ST грани SAB с ос­но­ва­ни­ем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды. Обо­зна­чим за x=O_1O вы­со­ту ма­лень­кой пи­ра­ми­ды, за  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби y=O_1M  — по­ло­ви­ну сто­ро­ны ее ос­но­ва­ния (всю сто­ро­ну за y). Тре­уголь­ни­ки SO1M и SOT по­доб­ны, от­ку­да  дробь: чис­ли­тель: SO_1, зна­ме­на­тель: SO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MO_1, зна­ме­на­тель: TO конец дроби ,

 дробь: чис­ли­тель: h минус x, зна­ме­на­тель: h конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfracy, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \tfraca2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: h минус x, зна­ме­на­тель: h конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: a конец дроби рав­но­силь­но h минус x= дробь: чис­ли­тель: yh, зна­ме­на­тель: a конец дроби рав­но­силь­но x=h минус дробь: чис­ли­тель: yh, зна­ме­на­тель: a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка h, зна­ме­на­тель: a конец дроби .

Объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды равен

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби xy в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка h, зна­ме­на­тель: a конец дроби умно­жить на y в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби левая круг­лая скоб­ка ay в квад­ра­те минус y в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка

и нам нужно найти наи­боль­шее зна­че­ние этой функ­ции. Возь­мем ее про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби левая круг­лая скоб­ка ay в квад­ра­те минус y в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2ay минус 3y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби умно­жить на y левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3y пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при y боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и по­ло­жи­тель­на при y мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . зна­чит, эта функ­ция убы­ва­ет при y боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и воз­рас­та­ет при y мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , а наи­боль­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет в точке y= дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды равен

 дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка y в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4ha в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 81 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 4ha в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 81 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2296

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1986 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия
?
Сложность: 9 из 10