В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD со стороной основания a и высотой SO, равной h, расположена другая пирамида, вершина которой находится в точке O, а основанием является сечение данной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Найдите наибольший возможный объём второй пирамиды.
Пусть S — вершина большой пирамиды, O — центр ее основания и вершина маленькой, O1 — центр основания маленькой
M — точка пересечения апофемы ST грани SAB с основанием маленькой пирамиды. Обозначим за
высоту маленькой пирамиды, за
— половину стороны ее основания (всю сторону за y). Треугольники SO1M и SOT подобны, откуда
Объем маленькой пирамиды равен
и нам нужно найти наибольшее значение этой функции. Возьмем ее производную:
поэтому производная отрицательна при и положительна при
значит, эта функция убывает при
и возрастает при
а наибольшее значение принимает в точке
Тогда объем маленькой пирамиды равен
Ответ:
Задание парного варианта: 2296

