Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2301

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD со стороной основания a и высотой SO, равной h, расположена другая пирамида, вершина которой находится в точке O, а основанием является сечение данной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Найдите наибольший возможный объём второй пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

Пусть S — вершина большой пирамиды, O — центр ее основания и вершина маленькой, O1 — центр основания маленькой  левая круглая скобка O_1 принадлежит OS правая круглая скобка , M — точка пересечения апофемы ST грани SAB с основанием маленькой пирамиды. Обозначим за x=O_1O высоту маленькой пирамиды, за  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби y=O_1M — половину стороны ее основания (всю сторону за y). Треугольники SO1M и SOT подобны, откуда  дробь: числитель: SO_1, знаменатель: SO конец дроби = дробь: числитель: MO_1, знаменатель: TO конец дроби ,

 дробь: числитель: h минус x, знаменатель: h конец дроби = дробь: числитель: \tfracy, знаменатель: 2 конец дроби \tfraca2 равносильно дробь: числитель: h минус x, знаменатель: h конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: a конец дроби равносильно h минус x= дробь: числитель: yh, знаменатель: a конец дроби равносильно x=h минус дробь: числитель: yh, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка a минус y правая круглая скобка h, знаменатель: a конец дроби .

Объем маленькой пирамиды равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби xy в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка a минус y правая круглая скобка h, знаменатель: a конец дроби умножить на y в квадрате = дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби левая круглая скобка ay в квадрате минус y в кубе правая круглая скобка

и нам нужно найти наибольшее значение этой функции. Возьмем ее производную:

 левая круглая скобка дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби левая круглая скобка ay в квадрате минус y в кубе правая круглая скобка правая круглая скобка '= дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби левая круглая скобка 2ay минус 3y в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби умножить на y левая круглая скобка 2a минус 3y правая круглая скобка ,

поэтому производная отрицательна при y больше дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби и положительна при y меньше дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби . значит, эта функция убывает при y больше дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби и возрастает при y меньше дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби , а наибольшее значение принимает в точке y= дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда объем маленькой пирамиды равен

 дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби левая круглая скобка a минус y правая круглая скобка y в квадрате = дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби левая круглая скобка a минус дробь: числитель: 2a, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 4a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: 3a конец дроби умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 4ha в квадрате , знаменатель: 81 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 4ha в квадрате , знаменатель: 81 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2296

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1986 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10