PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD со стороной основания a и высотой SO, равной h, расположена другая пирамида, вершина которой находится в точке O, а основанием является сечение данной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию. Найдите наибольший возможный объём второй пирамиды.
Решение. Пусть S — вершина большой пирамиды, O — центр ее основания и вершина маленькой, O1 — центр основания маленькой
M — точка пересечения апофемы ST грани SAB с основанием маленькой пирамиды. Обозначим за 
высоту маленькой пирамиды, за 
— половину стороны ее основания (всю сторону за y). Треугольники SO1M и SOT подобны, откуда 
Объем маленькой пирамиды равен
и нам нужно найти наибольшее значение этой функции. Возьмем ее производную:
поэтому производная отрицательна при 
и положительна при 
значит, эта функция убывает при и возрастает при 
а наибольшее значение принимает в точке 
Тогда объем маленькой пирамиды равен
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |