Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2251

Конус описан около шара радиуса R. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 2α. При каком значении α площадь осевого сечения конуса будет наименьшей? Найдите значение этой наименьшей площади.

Спрятать решение

Решение.

Можно считать, что радиус шара равен 1 (при гомотетии все отношения площадей и отрезков сохранятся, как и углы, а итоговый ответ просто домножим на R2). Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем мы увидим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса 1. Пусть высота конуса равна h, а радиус основания равен r. Тогда площадь осевого сечения равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби h умножить на 2r=hr. С другой стороны, радиус вписанной окружности треугольника равен его площади, деленной на полупериметр, поэтому

1= дробь: числитель: hr, знаменатель: \tfrac12(2r плюс 2 корень из (h в квадрате плюс r в квадрате ) ) конец дроби = дробь: числитель: hr, знаменатель: r плюс корень из (h в квадрате плюс r в квадрате ) конец дроби равносильно r плюс корень из (h в квадрате плюс r в квадрате ) =hr равносильно

 равносильно hr минус r= корень из (h в квадрате плюс r в квадрате ) равносильно (hr минус r) в квадрате =h в квадрате плюс r в квадрате равносильно h в квадрате r в квадрате минус 2hr в квадрате плюс r в квадрате =h в квадрате плюс r в квадрате равносильно

 равносильно h в квадрате r в квадрате минус 2hr в квадрате =h в квадрате равносильно hr в квадрате минус 2r в квадрате =h равносильно h(r в квадрате минус 1)=2r в квадрате равносильно h= дробь: числитель: 2r в квадрате , знаменатель: r в квадрате минус 1 конец дроби .

Значит, площадь осевого сечения равна hr= дробь: числитель: 2r в кубе , знаменатель: r в квадрате минус 1 конец дроби и наша задача — найти наименьшее значение этой функции при r > 1. Возьмем производную:

 левая круглая скобка дробь: числитель: 2r в кубе , знаменатель: r в квадрате минус 1 конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: (2r в кубе )'(r в квадрате минус 1) минус (r в квадрате минус 1)'2r в кубе , знаменатель: (r в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби =

= дробь: числитель: 6r в квадрате (r в квадрате минус 1) минус 2r умножить на 2r в кубе , знаменатель: (r в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 6r в степени 4 минус 6r в квадрате минус 4r в степени 4 , знаменатель: (r в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2r в степени 4 минус 6r в квадрате , знаменатель: (r в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2r в квадрате (r в квадрате минус 3), знаменатель: (r в квадрате минус 1) в квадрате конец дроби ,

что положительно при r больше корень из (3) и отрицательно при r меньше корень из (3) . Значит, функция  дробь: числитель: 2r в кубе , знаменатель: r в квадрате минус 1 конец дроби возрастает при r больше корень из (3) , убывает при r меньше корень из (3) и достигает наименьшего значения при r= корень из (3) . Итак, у треугольника основание равно 2 корень из (3) , высота равна  дробь: числитель: 2r в квадрате , знаменатель: r в квадрате минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 3, знаменатель: 3 минус 1 конец дроби =3, поэтому

 тангенс 2 альфа = дробь: числитель: h, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из (3) конец дроби = корень из (3) равносильно 2 альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби равносильно альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .

Площадь осевого сечения равна R в квадрате умножить на rh=R в квадрате умножить на 3 корень из (3) =6 корень из (3) R в квадрате .

 

Ответ: 6 корень из (3) R в квадрате .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2246

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1985 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10