PDF-версии: 
В шар радиуса R вписан цилиндр. Найдите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания, при котором площадь полной поверхности цилиндра будет наибольшей. Найдите значение этой наибольшей площади полной поверхности.
Решение. Пусть высота цилиндра равна 2h, а радиус равен r. Пусть, далее, O — центр шара (и цилиндра), O1 — центр основания цилиндра, A — точка на основании цилиндра. По теореме Пифагора для треугольника OO1A имеем
Площадь полной поверхности цилиндра равна
Определим наибольшее значение этой функции. Возьмем производную, не учитывая постоянный множитель π:
Выясним, когда эта производная равна нулю:
Разделим уравнение на 
и обозначим 
Получаем:
Значит, 
То есть наибольшее значение функция принимает в одной из точек 
Большее значение будет, если выбрать знак плюс. Тогда
значит, это и есть наибольшее значение. Осталось найти угол между диагональю осевого сечения цилиндра и его основанием. Это 
Тогда
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |