Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2231

В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник с периметром, равным 3, вписан цилиндр наибольшего объёма. Найдите отношение высоты этого цилиндра к радиусу основания цилиндра.

Спрятать решение

Решение.

Периметр треугольника равен 4, значит, сторона треугольника равна 1, а высота  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби , поэтому радиус основания конуса  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , а высота  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби . Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен  Пи hr в квадрате . Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью SAB. Получим равносторонний треугольник, в который вписан прямоугольник. Назовем его вершины M, N, P, Q, при этом P принадлежит SB, Q принадлежит SA. Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому  дробь: числитель: SO, знаменатель: OA конец дроби = дробь: числитель: QM, знаменатель: MA конец дроби ,

 дробь: числитель: \dfrac корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби \dfrac12= дробь: числитель: h, знаменатель: \dfrac12 минус r конец дроби равносильно корень из (3) = дробь: числитель: h, знаменатель: \dfrac12 минус r конец дроби равносильно h= корень из (3) левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус r правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (1 минус 2r).

Значит, объем цилиндра равен

 Пи hr в квадрате = Пи умножить на дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (1 минус 2r) умножить на r в квадрате = дробь: числитель: Пи корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (r в квадрате минус 2r в кубе ).

Определим наибольшее значение этой функции. Возьмем производную:

 левая круглая скобка дробь: числитель: Пи корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (r в квадрате минус 2r в кубе ) правая круглая скобка '= дробь: числитель: Пи корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (2r минус 6r в квадрате )= корень из (3) Пи r(1 минус 3r),

что положительно при r меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби и отрицательно при r больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Значит, функция  дробь: числитель: Пи корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (r в квадрате минус 2r в кубе ) возрастает при r меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , убывает при r больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби и достигает наименьшего значения при r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Тогда h= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби (1 минус 2r)= дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби и  дробь: числитель: h, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 6 конец дроби : дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2226

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РСФСР, 1984 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Геометрия
?
Сложность: 9 из 10