PDF-версии: 
В конус вписан цилиндр. Осевым сечением цилиндра является квадрат с периметром, равным 4. В конусе, имеющем наименьший объём, найдите отношение высоты конуса к радиусу основания конуса.
Решение. Периметр квадрата равен 4, значит, сторона квадрата равна 1, поэтому радиус основания цилиндра 
а высота 1. Обозначим высоту конуса за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен 
Пусть S — вершина конуса, O — центр его основания, AB — диаметр основания.
Рассмотрим сечение конуса плоскостью SAB. Получим равнобедренный треугольник, в который вписан квадрат. Назовем его вершины M, N, P, Q, при этом 
Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому 
Значит, объем конуса равен
Определим наименьшее значение этой функции. Возьмем производную.
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Тогда 
и 
Ответ: 4.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |