Сечением правильной четырёхугольной пирамиды, проходящим через высоту пирамиды и апофему, является правильный треугольник со стороной, равной 2. В пирамиду вписана правильная четырёхугольная призма так, что нижнее основание призмы принадлежит основанию пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на боковых рёбрах. В призме, имеющей наибольший объём, найдите отношение её высоты к стороне основания.
Обозначим все интересующие нас точки. Пусть в пирамиду SMNPQ вписана призма ABCDA1B1C1D1 так, что ABCD лежит в плоскости основания MNPQ, 
Пусть, кроме того, O — центр основания пирамиды (также он центр квадрата ABCD, поскольку лежит на AC и BD, которые лежат на MP и NQ соответственно). По условию MN = 2 и 
поскольку является высотой правильного треугольника со стороной 2, описанного в условии. Заодно можно узнать, что сторона квадрата MNPQ равна 2, поэтому 
Обозначим AB = 2x, AA1 = h, тогда объем призмы будет равен 
Кроме того 
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMP. В нем будет равнобедренный треугольник SMP, в который вписан прямоугольник ACC1A1 со сторонами h и 
Треугольники SOP и C1CP подобны, поэтому 
Значит, объем призмы равен 
Определим наименьшее значение этой функции. Возьмем производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наибольшего значения при 
Тогда
и 
Задание парного варианта: 2216