PDF-версии: 
Сечением правильной четырёхугольной пирамиды, проходящим через высоту пирамиды и апофему, является правильный треугольник со стороной, равной 2. В пирамиду вписана правильная четырёхугольная призма так, что нижнее основание призмы принадлежит основанию пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на боковых рёбрах. В призме, имеющей наибольший объём, найдите отношение её высоты к стороне основания.
Решение. Обозначим все интересующие нас точки. Пусть в пирамиду SMNPQ вписана призма ABCDA1B1C1D1 так, что ABCD лежит в плоскости основания MNPQ,
Пусть, кроме того, O — центр основания пирамиды (также он центр квадрата ABCD, поскольку лежит на AC и BD, которые лежат на MP и NQ соответственно). По условию MN = 2 и 
поскольку является высотой правильного треугольника со стороной 2, описанного в условии. Заодно можно узнать, что сторона квадрата MNPQ равна 2, поэтому 
Обозначим AB = 2x, AA1 = h, тогда объем призмы будет равен 
Кроме того 
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMP. В нем будет равнобедренный треугольник SMP, в который вписан прямоугольник ACC1A1 со сторонами h и 
Треугольники SOP и C1CP подобны, поэтому 
Значит, объем призмы равен 
Определим наименьшее значение этой функции. Возьмем производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наибольшего значения при 
Тогда
и 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |