PDF-версии: 
В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб с ребром, равным 1, так, что одно основание лежит на основании пирамиды, а вершины противоположного ему основания — на боковых рёбрах пирамиды. В пирамиде с наименьшим объёмом найдите величину угла наклона боковой грани к основанию пирамиды.
Решение. Обозначим все интересующие нас точки. Пусть в пирамиду SMNPQ вписан куб ABCDA1B1C1D1 так, что ABCD лежит в плоскости основания MNPQ,
Пусть, кроме того, X — середина ребра MN, O — центр основания пирамиды (также он центр квадрата ABCD, поскольку лежит на AC и BD, которые лежат на MP и NQ соответственно). Обозначим MN = 2x, SO = h, тогда объем пирамиды будет равен 
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMP. В нем будет равнобедренный треугольник SMP, в который вписан прямоугольник ACC1A1 со сторонами 1 и 
Треугольники SOP и C1CP подобны, поэтому 
Значит, объем пирамиды равен
Определим наименьшее значение этой функции. Возьмем производную:
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция 
возрастает при 
убывает при 
и достигает наименьшего значения при 
Тогда 
Окончательно, получаем:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |