PDF-версии: 
В конус, образующая которого наклонена к основанию под углом 45°, вписан цилиндр так, что одно его основание лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Найдите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и его основанием, при котором объём цилиндра будет наибольшим.
Решение. Можно считать, что радиус основания конуса равен 1 (при гомотетии все отношения объемов сохранятся, как и углы). Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем будет равнобедренный треугольник ASB,
в который вписан прямоугольник MNPQ (
). Обозначим высоту цилиндра за h, то есть NP = MQ = h). Тогда в треугольнике QMA имеем 
то есть это тоже равнобедренный прямоугольный треугольник и MA = h, откуда
а радиус основания цилиндра равен 1 − h и h < 1. Объем цилиндра равен
Найдем производную этого выражения:
Поскольку h − 1 отрицательно, все это выражение отрицательно при 
и положительно при 
то есть функция 
возрастает при убывает при и имеет наибольшее значение при 
Тогда
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |