PDF-версии: 
Многогранник ABCDA1B1C1D1 — правильная четырёхугольная призма (ABCD и A1B1C1D1 — основания призмы). Известно, что площадь четырёхугольника AD1C1B равна 
Какой должна быть сторона основания призмы, чтобы её объём был наибольшим?
Решение. Обозначим сторону квадрата за x, а высоту призмы — ребро DD1 — за y. Тогда объем призмы равен yx2. По теореме Пифагора для треугольникa D1DA находим
Четырехугольник AD1C1B тогда является прямоугольником со сторонами x и 
и площадью 
откуда
Осталось найти наибольшее значение подкоренного выражения. Для этого возьмем его производную:
что отрицательно при x > 2 и положительно при 
Значит, функция 
а с ней и 
возрастает при 
убывает при x > 2 (там, где определена) и принимает наибольшее значение при x = 2:
Ответ: x = 2.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |