Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1744

Пусть p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени n плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n, где n\geqslant2, коэффициенты a_1, a_2, \ldots, a_n вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные  — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка являются простыми (другими словами, не кратными).

а)  Может ли многочлен p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка иметь более двух положительных корней?

б)  Верно ли, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда a_n меньше 0?

в)  Пусть a_1 меньше 0, c  — положительный корень многочлена p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка . Докажите, что коэффициенты b_1,b_2,\ldots,b_n минус 1 многочлена  дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби отрицательны.

г)  Пусть a_1 меньше 0. Докажите, что многочлен p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.

Спрятать решение

Решение.

а)  Если многочлен p3(x) имеет три положительных корня, то его коэффициенты a1 и a3 отрицательны.

б)  Пусть an < 0, тем самым pn(0) < 0. Поскольку все остальные коэффициенты многочлена положительны, то функция pn(x) строго возрастает на луче  левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка , причём p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка arrow плюс бесконечность при xarrow плюс бесконечность , поэтому уравнение pn(x) = 0 имеет один положительный корень. Если же an > 0, то число положительных корней многочлена pn(x) чётно, так как по предположению все они  — простые.

в)  Положим

q_n минус 1 левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби =x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b_1x в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_n минус 1.

Имеем:

x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n= левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b_1x в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_n минус 1 правая круглая скобка ,

откуда a_i=b_i минус cb_i минус 1 при i ⩽ n − 1, a_n= минус cb_n минус 1. Из последнего равенства следует, что b_n минус 1 меньше 0. Далее рассуждаем по индукции. Если bi < 0, то cb_i минус 1=b_i минус a_i меньше 0.

г)  Предположим, что многочлен pn имеет хотя бы один положительный корень. Поделив pn на соответствующее линейное выражение, получим многочлен, все коэффициенты которого (разумеется, кроме коэффициента при xn − 1) отрицательны. Поэтому полученный многочлен имеет ещё хотя бы один положительный корень c. Поделив на x − c, получим многочлен, все коэффициенты которого положительны (рассуждение полностью аналогично проведённому в предыдущем пункте), который, тем самым, положительных корней не имеет.

 

Ответ: а) нет, не может; б) да, верно.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2139

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 2
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 11 из 10